Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，B點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)．若AB=4，OB＞OA，且OA、OB是方程x²+kx+3=0的兩根．
（1）請求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)O到BC的距離為

3 2

2

，求此二次函數(shù)的解析式；
（3）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，且△PAB的外心為M（1，1），試判斷點(diǎn)P是否在（2）中所求的二次函數(shù)圖象上．

Answer 1

分析：（1）由于已知OA、OB是方程x²+kx+3=0的兩根，故可根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出OA、OB的值，再根據(jù)A點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，B點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，OB＞OA，可確定A、B的坐標(biāo)．
（2）設(shè)C（0，c），可根據(jù)△OBC的面積求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式．
（3）先設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形外心的定義可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再把其代如（2）中二次函數(shù)的解析式，看是否適合即可．

解答：解：（1）由題意可知OA+OB=-K，OA•OB=3，
∵AB=4，即OA+OB=-K=4，k=-4，
故方程x²+kx+3=0可化為x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
即OA=1，OB=3，
∵AB=4，OB＞OA，A點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，B點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，
∴A（-1，0），B（3，0）．

（2）設(shè)C（0，c），
如圖：根據(jù)三角形的面積公式可知

1

2

BC•OD=

1

2

OB•OC，
即

32+c2

•

3 2

2

=3c，
解得c=±3，
故C（0，3）或（0，-3），
設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，
當(dāng)c＞0時，

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

，
故二次函數(shù)的解析式為y=-x²+3x+3，
同理當(dāng)c=-3時，二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x-3，
故過A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+3或y=-x²+2x-3；

（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，x），由外心的定義可知AE=PE，
即

(-1-1)2+12

=

(2-1)2+(y-1)2

，
解得y=3，或y=1，
把x=2分別代入二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-x²+2x+3和y=-x²+2x-3，
解得y=±3，
故P不在（2）中所求的二次函數(shù)圖象上．

點(diǎn)評：此題比較復(fù)雜，涉及到二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及三角形的性質(zhì)，是中學(xué)階段的難點(diǎn)．