【題目】已知,如圖,在平面直角坐標系中,點A坐標為(﹣2,0),點B坐標為(0,2),點E為線段AB上的動點(點E不與點A,B重合),以E為頂點作∠OET=45°,射線ET交線段0B于點F,C為y軸正半軸上一點,且OC=AB,拋物線y=﹣ x2+mx+n的圖象經(jīng)過A,C兩點.
(1)求此拋物線的函數(shù)表達式;
(2)求證:∠BEF=∠AOE;
(3)當△EOF為等腰三角形時,求此時點E的坐標;
(4)在(3)的條件下,當直線EF交x軸于點D,P為(1)中拋物線上一動點,直線PE交x軸于點G,在直線EF上方的拋物線上是否存在一點P,使得△EPF的面積是△EDG面積的(2 +1)倍?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:如圖①,
∵A(﹣2,0)B(0,2)
∴OA=OB=2,
∴AB2=OA2+OB2=22+22=8
∴AB=2 ,
∵OC=AB
∴OC=2 ,即C(0,2 )
又∵拋物線y=﹣ x2+mx+n的圖象經(jīng)過A、C兩點
則可得 ,
解得 .
∴拋物線的表達式為y=﹣ x2﹣ x+2
(2)
解:∵OA=OB,∠AOB=90°,∴∠BAO=∠ABO=45°
又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE,
∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF,
∴∠BEF=∠AOE.
(3)
解:當△EOF為等腰三角形時,分三種情況討論
①當OE=OF時,∠OFE=∠OEF=45°
在△EOF中,∠EOF=180°﹣∠OEF﹣∠OFE=180°﹣45°﹣45°=90°
又∵∠AOB=90°
則此時點E與點A重合,不符合題意,此種情況不成立.
②如圖2,
當FE=FO時,
∠EOF=∠OEF=45°
在△EOF中,
∠EFO=180°﹣∠OEF﹣∠EOF=180°﹣45°﹣45°=90°
∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°
∴EF∥AO,
∴∠BEF=∠BAO=45°
又∵由(2)可知,∠ABO=45°
∴∠BEF=∠ABO,
∴BF=EF,
EF=BF= OB= ×2=1
∴E(﹣1,1)
③如圖③,
當EO=EF時,過點E作EH⊥y軸于點H
在△AOE和△BEF中,
∠EAO=∠FBE,EO=EF,∠AOE=∠BEF
∴△AOE≌△BEF,
∴BE=AO=2
∵EH⊥OB,
∴∠EHB=90°,
∴∠AOB=∠EHB
∴EH∥AO,
∴∠BEH=∠BAO=45°
在Rt△BEH中,∵∠BEH=∠ABO=45°
∴EH=BH=BEcos45°=2× =
∴OH=OB﹣BH=2﹣ ∴E(﹣ ,2﹣ )
綜上所述,當△EOF為等腰三角形時,所求E點坐標為E(﹣1,1)或E(﹣ ,2﹣ )
(4)
解:假設存在這樣的點P.
當直線EF與x軸有交點時,由(3)知,此時E(﹣ ,2﹣ ).
如圖④所示,
過點E作EH⊥y軸于點H,則OH=FH=2﹣ .
由OE=EF,易知點E為Rt△DOF斜邊上的中點,即DE=EF,
過點F作FN∥x軸,交PG于點N.
易證△EDG≌△EFN,因此S△EFN=S△EDG,
依題意,可得
S△EPF=(2 +1)S△EDG=(2 +1)S△EFN,
∴PE:NE=(2 +1):1.
過點P作PM⊥x軸于點M,分別交FN、EH于點S、T,則ST=TM=2﹣ .
∵FN∥EH,
∴PT:ST=PE:NE=2 +1,
∴PT=(2 +1)ST=(2 +1)(2﹣ )=3 ﹣2;
∴PM=PT+TM=2 ,即點P的縱坐標為2 ,
∴﹣ x2﹣ x+2 =2 ,
解得x1=0,x2=﹣1,
∴P點坐標為(0,2 )或(﹣1,2 ).
綜上所述,在直線EF上方的拋物線上存在點P,使得△EPF的面積是△EDG面積的(2 +1)倍;
點P的坐標為(0,2 )或(﹣1,2 )
【解析】(1)首先求出點C的坐標,然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;(2)利用三角形外角性質(zhì),易證∠BEF=∠AOE;(3)當△EOF為等腰三角形時,有三種情況,需要分類討論,注意不要漏解;(4)本問關鍵是利用已知條件求得點P的縱坐標,要點是將△EPF與△EDG的面積之比轉(zhuǎn)化為線段之比.如圖④所示,首先證明點E為DF的中點,然后作x軸的平行線FN,則△EDG≌△EFN,從而將△EPF與△EDG的面積之比轉(zhuǎn)化為PE:NE;過點P作x軸垂線,可依次求出線段PT、PM的長度,從而求得點P的縱坐標;最后解一元二次方程,確定點P的坐標.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,O為坐標原點.直線y=kx+b與拋物線y=mx2﹣x+n同時經(jīng)過A(0,3)、B(4,0).
(1)求m,n的值.
(2)點M是二次函數(shù)圖象上一點,(點M在AB下方),過M作MN⊥x軸,與AB交于點N,與x軸交于點Q.求MN的最大值.
(3)在(2)的條件下,是否存在點N,使△AOB和△NOQ相似?若存在,求出N點坐標,不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD=4,M是AD的中點,點E是線段AB上一動點,連接EM并延長交線段CD的延長線于點F.
(1)如圖1,求證:AE=DF;
(2)如圖2,若AB=2,過點M作 MG⊥EF交線段BC于點G,判斷△GEF的形狀,并說明理由;
(3)如圖3,若AB= ,過點M作 MG⊥EF交線段BC的延長線于點G.
①直接寫出線段AE長度的取值范圍;
②判斷△GEF的形狀,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,O是正△ABC內(nèi)一點,OA=3,OB=4,OC=5,將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′,下列結(jié)論:①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到;②點O與O′的距離為4;③∠AOB=150°;④S四邊形AOBO′=6+3;⑤S△AOC+S△AOB=6+.其中正確的結(jié)論是
A. ①②③⑤ B. ①③④ C. ②③④⑤ D. ①②⑤
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】準備一張矩形紙片,按如圖操作:將△ABE沿BE翻折,使點A落在對角線BD上的M點,將△CDF沿DF翻折,使點C落在對角線BD上的N點.
(1)、求證:四邊形BFDE是平行四邊形;
(2)、若四邊形BFDE是菱形, AB=2,求菱形BFDE的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,左面的幾何體叫三棱柱,它有五個面,條棱,個頂點,中間和右邊的幾何體分別是四棱柱和五棱柱.
四棱柱有________個頂點,________條棱,________個面;
五棱柱有________個頂點,________條棱,________個面;
你能由此猜出,六棱柱、七棱柱各有幾個頂點,幾條棱,幾個面嗎?
棱柱有幾個頂點,幾條棱,幾個面嗎?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(徐州中考)如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=60°,△ACD是等邊三角形,E是AC的中點,連接BE并延長交DC于點F,求證:
(1)△ABE≌△CFE;
(2)四邊形ABFD是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,DE∥BF,∠1與∠2互補.
(1)試說明:FG∥AB;
(2)若∠CFG=60°,∠2=150°,則DE與AC垂直嗎?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,正方形ABCO的對角線BO在x 軸上,若正方形ABCO的邊長為,點B在x負半軸上,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過C點.
(1)求該反比例函數(shù)的解析式;
(2)當函數(shù)值>-2時,請直接寫出自變量x的取值范圍;
(3)若點P是反比例函數(shù)上的一點,且△PBO的面積恰好等于正方形ABCO的面積,求點P的坐標.
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