Question

如圖，扇形OAB的半徑OA=r，圓心角∠AOB=90°，點(diǎn)C是

AB

上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D，作CE⊥OB于點(diǎn)E，點(diǎn)M在DE上，DM=2EM，過(guò)點(diǎn)C的直線CP交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，且∠CPO=∠CDE．
（1）試說(shuō)明：DM=

2

3

r；
（2）試說(shuō)明：直線CP是扇形OAB所在圓的切線．

Answer 1

分析：（1）連接OC，利用矩形的判定方法證明四邊形EODC是矩形，即可得出答案；
（2）由∠CPO=∠CDE，∠NDO+∠EDC=90°，得出∠NOD+∠CPD=90°，即可證出．

解答：解：（1）連接OC，
∵∠AOB=90°，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D，作CE⊥OB于點(diǎn)E，
∴四邊形EODC是矩形，
∵點(diǎn)M在DE上，DM=2EM，扇形OAB的半徑OA=r，
∴OC=DE=r，
∴DM=

2

3

DE=

2

3

r；

（2）證明：∵四邊形EODC是矩形，
∴ON=ND，
∴∠NOD=∠NDO，
∵∠CPO=∠CDE，∠NDO+∠EDC=90°，
∴∠NOD+∠CPD=90°，
∴直線CP是扇形OAB所在圓的切線．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的判定與矩形的性質(zhì)與判定，連接OC，利用矩形的對(duì)角線相等且互相平分是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．