【題目】二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的頂點為P,其圖像與x軸有兩個交點A(﹣m,0),B(1,0),交y軸于點C(0,﹣3am+6a),以下說法:
①m=3;
②當∠APB=120°時,a= ;
③當∠APB=120°時,拋物線上存在點M(M與P不重合),使得△ABM是頂角為120°的等腰三角形;
④拋物線上存在點N,當△ABN為直角三角形時,有a≥
正確的是( )
A.①②
B.③④
C.①②③
D.①②③④
【答案】D
【解析】解:①∵點A(﹣m,0)、B(1,0)在拋物線y=ax2+bx+c上,
∴ ,
由①﹣②得
am2﹣bm﹣a﹣b=0,
即(m+1)(am﹣a﹣b)=0.
∵A(﹣m,0)與B(1,0)不重合,
∴﹣m≠1即m+1≠0,
∴m= ,
∴點C的坐標為(0,3a﹣3b),
∵點C在拋物線y=ax2+bx+c上,
∴c=3a﹣3b,
代入②得a+b+3a﹣3b=0,即b=2a,
∴m= =3,故①正確;
②∵m=3,∵A(﹣3,0),
∴拋物線的解析式可設為y=a(x+3)(x﹣1),
則y=a(x2+2x﹣3)=a(x+1)2﹣4a,
∴頂點P的坐標為(﹣1,﹣4a).
根據對稱性可得PA=PB,
∴∠PAB=∠PBA=30°.
設拋物線的對稱軸與x軸的交點為G,
則有PG⊥x軸,
∴PG=AGtan∠PAG=2× = ,
∴4a= ,
∴a= ,故②正確;
③在第一象限內作∠MBA=120°,且滿足BM=BA,過點M作MH⊥x軸于H,如圖1,
在Rt△MHB中,∠MBH=60°,
則有MH=4sin60°=4× =2 ,BH=4cos60°=4× =2,
∴點M的坐標為(3,2 ),
當x=3時,y= (3+3)(3﹣1)=2 ,
∴點M在拋物線上,故③正確;
④∵點N在拋物線上,∴∠ABN≠90°,∠BAN≠90°.
當△ABN為直角三角形時,∠ANB=90°,
此時點N在以AB為直徑的⊙G上,
因而點N在⊙G與拋物線的交點處,
要使點N存在,點P必須在⊙G上或⊙G外,如圖2,
則有PG≥2,即4a≥2,也即a≥ ,故④正確.
故選D.
【考點精析】通過靈活運用二次函數的圖象和二次函數的性質,掌握二次函數圖像關鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小即可以解答此題.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知A(﹣2,1)、B(﹣4,﹣2)、C(﹣1,﹣3),把△ABC平移之后得到△A′B′C′,并且C的對應點C′的坐標為(4,1).
(1)分別寫出A′、B′兩點的坐標;
(2)作出△ABC平移之后的圖形△A′B′C′;
(3)求△A′B′C′的面積.
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【題目】如圖,AE∥BF,AC平分∠BAE,交BF于C.
(1)尺規(guī)作圖:過點B作AC的垂線,交AC于O,交AE于D,(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)在(1)的圖形中,找出兩條相等的線段,并予以證明.
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【題目】如圖,已知AB∥CD,現將一直角三角形PMN放入圖中,其中∠P=90°,PM交AB于點E,PN交CD于點F
(1)當△PMN所放位置如圖①所示時,則∠PFD與∠AEM的數量關系為 ;
(2)當△PMN所放位置如圖②所示時,求證:∠PFD﹣∠AEM=90°;
(3)在(2)的條件下,若MN與CD交于點O,且∠DON=30°,∠PEB=15°,求∠N的度數.
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【題目】如圖,直線l1、l2相交于點A(2,3),直線l1與x軸交點B的坐標為(﹣1,0),直線l2與y軸交于點C,已知直線l2的解析式為y=2.5x﹣2,結合圖象解答下列問題:
(1)求直線l1的解析式;
(2)求△ABC的面積.
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【題目】如圖,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=2 ,點P在以斜邊AB為直徑的半圓上,M為PC的中點.當點P沿半圓從點A運動至點B時,點M運動的路徑長是
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【題目】小明一家利用國慶八天駕車到某景點旅游,小汽車出發(fā)前油箱有油35L,行駛若干小時后,途中在加油站加油若干升,油箱中余油量Q(L)與行駛時間t(h)之間的關系如圖所示,根據圖像回答下列問題:
(1)小汽車行駛______h后加油,中途加油_______L
(2)求加油前油箱余油量Q與行駛時間t的函數關系式
(3)如果小汽車在行駛過程中耗油量速度不變,加油站距景點200km,車速80km/h,要到達目的地,油箱中的油是否夠用?請說明理由
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