Question

如圖，點E是矩形ABCD中CD邊上一點，△BCE沿BE折疊為△BFE，點F落在AD上．
（1）求證：△ABF∽△DFE；
（2）若sin∠DFE=，求tan∠EBC的值．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形
∴∠A=∠D=∠C=90°，
∵△BCE沿BE折疊為△BFE，
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠AFB+∠DFE=180°-∠BFE=90°，
又∵∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠DFE，
∴△ABF∽△DFE，

（2）解：在Rt△DEF中，sin∠DFE==，
∴設(shè)DE=a，EF=3a，DF==2a，
∵△BCE沿BE折疊為△BFE，
∴CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，AB=4a，∠EBC=∠EBF，
又由（1）△ABF∽△DFE，
∴===，
∴tan∠EBF==，
tan∠EBC=tan∠EBF=．
分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知∠A=∠D=∠C=90°，△BCE沿BE折疊為△BFE，得出∠BFE=∠C=90°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，可知∠AFB+∠ABF=90°，得出∠ABF=∠DFE，即可證明△ABF∽△DFE，
（2）已知sin∠DFE=，設(shè)DE=a，EF=3a，DF==2a，可得出CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，AB=4a，∠EBC=∠EBF，由（1）中△ABF∽△DFE，可得tan∠EBC=tan∠EBF==．
點評：本題考查了矩形的性質(zhì)以及相似三角形的證明方法，以及直角三角形中角的函數(shù)值，難度適中．