Question

如圖（1），正方形ABCD和正方形AEFG的邊AB和AG在同一條直線上．

（1）判斷C、A、F是否在同一條直線上，說明理由？
（2）如圖（2）以直線AB為x軸，線段AG的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知OA=AB=1，判斷點(diǎn)C、點(diǎn)F是否在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上？若在，求出這個(gè)函數(shù)的解析式；若不在，說明理由．
（3）若將（2）中的條件改為0A=AB=m，請(qǐng)完成（2）中的問題．

Answer 1

解：（1）∵AB和AG在同一條直線上，
∴∠EAB=90°，
∵AF、AC分別是正方形的對(duì)角線，
∴∠EAF=∠BAC=45°，
∴∠FAC=∠FAE+∠EAB+∠BAC=180°，
故C、A、F在同一條直線上．

（2）由題意得，OA=AB=1，
結(jié)合直角坐標(biāo)系可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-1），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-1，2），
設(shè)過點(diǎn)C的反比例函數(shù)關(guān)系式為y=，將點(diǎn)C代入可得：-1=，
解得：k=-2，即反比例函數(shù)關(guān)系式為y=-，
將點(diǎn)F（-1，2）代入可得：2=-，從而可得點(diǎn)F也在經(jīng)過點(diǎn)C的反比例函數(shù)上．
即點(diǎn)C、點(diǎn)F是否在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，這個(gè)反比例函數(shù)為y=-．

（3）由題意得，OA=AB=m，
結(jié)合直角坐標(biāo)系可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2m，-m），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-m，2m），
設(shè)過點(diǎn)C的反比例函數(shù)關(guān)系式為y=，將點(diǎn)C代入可得：-m=，
解得：k=-2m²，即反比例函數(shù)關(guān)系式為y=-，
將點(diǎn)F（-m，2m）代入可得：2m=-，從而可得點(diǎn)F也在經(jīng)過點(diǎn)C的反比例函數(shù)上．
即點(diǎn)C、點(diǎn)F是否在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，這個(gè)反比例函數(shù)為y=-．
分析：（1）根據(jù)AB和AG在同一條直線上可求出∠EAB的度數(shù)，再由正方形的性質(zhì)可得∠EAF=∠BAC=45°，故根據(jù)∠FAC為平角可得出C、A、F三點(diǎn)共線；
（2）根據(jù)方格坐標(biāo)紙，可得出點(diǎn)C、點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)確定反比例函數(shù)的關(guān)系式，然后代入點(diǎn)F的坐標(biāo)進(jìn)行判斷即可；
（3）用m表示出點(diǎn)C、點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)確定反比例函數(shù)的關(guān)系式，然后代入點(diǎn)F的坐標(biāo)進(jìn)行判斷即可；
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三點(diǎn)共線的證明、點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長(zhǎng)度之間的轉(zhuǎn)換及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的知識(shí)，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，解答最后兩問的關(guān)鍵是在方格坐標(biāo)紙上得出點(diǎn)C及點(diǎn)F的坐標(biāo)．