(2009•貴港)如圖,拋物線y=ax2+bx+c的交x軸于點A和點B(-2,0),與y軸的負半軸交于點C,且線段OC的長度是線段OA的2倍,拋物線的對稱軸是直線x=1.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若過點(0,-5)且平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點,以線段MN為一邊拋物線上與M、N不重合的任意一點P(x,y)為頂點作平行四邊形,若平行四邊形的面積為S,請你求出S關(guān)于點P的縱坐標y的函數(shù)解析式;
(3)當0<x≤時,(2)中的平行四邊形的面積是否存在最大值?若存在,請求出來;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)本題的關(guān)鍵是求出A、B、C三點的坐標.根據(jù)拋物線對稱軸的解析式和B點坐標可得出A點的坐標,也就可得出OA的長,根據(jù)OC=2OA,可求出C點的坐標,已知了A、B、C三點的坐標即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(2)本題要先求出M、N兩點的坐標,進而求出MN的長,由于要求的是平行四邊形的面積,因此只需知道MN的長和P點與M點縱坐標差的絕對值,然后根據(jù)平行四邊形的面積求法即可得出S,y的函數(shù)關(guān)系式;
(3)先將(2)得出的函數(shù)關(guān)系式中的y值用x表示出來,然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍求出S的最大值.
解答:解:(1)∵拋物線的對稱軸x=1,B(-2,0)
∴A(4,0),OA=4
∴OC=2OA=8,即C點坐標為(0,-8)
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-4)
由于拋物線過C點,
則有a(0+2)(0-4)=-8,
即a=1
因此拋物線的解析式為y=(x+2)(x-4)=x2-2x-8;

(2)當y=-5時,x2-2x-8=-5,
解得x=3,x=-1
∴M、N的坐標分別為(3,-5),(-1,-5)
∴MN=4
∴S=4|y+5|;

(3)由于0<x≤,此時y<0,且P與M、N不重合,因此可分兩種情況進行討論:
①當0<x<3時,
S=4(-5-y)=4(-5-x2+2x+8)=4(-x2+2x-1+4)=-4(x-1)2+16,
Smax=16;
②當3<x≤時,
S=4(5+y)=4(x2-2x-3)=4(x-1)2-16,
由于拋物線開口向上,且對稱軸為x=-1,
因此當x=時,Smax=
因此存在平行四邊形的最大值,且最大值為16.
點評:本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力.要注意(3)題要根據(jù)y和M點縱坐標的大小關(guān)系來分情況進行求解.不要漏解.
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(1)試確定這兩個函數(shù)的表達式;
(2)求點B的坐標.

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