Question

【題目】用函數(shù)方法研究動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離問題．

在研究一個(gè)動點(diǎn)P（x，0）到定點(diǎn)A（1，0）的距離S時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)：

S與x的函數(shù)關(guān)系為S＝并畫出圖像如圖：

借助小明的研究經(jīng)驗(yàn)，解決下列問題：

（1）寫出動點(diǎn)P（x，0）到定點(diǎn)B（－2，0）的距離S的函數(shù)表達(dá)式，并求當(dāng)x取何值時(shí)，S取最小值？

（2）設(shè)動點(diǎn)P（x，0）到兩個(gè)定點(diǎn)M（1，0）、N（5，0）的距離和為y．

①隨著x增大，y怎樣變化？

②當(dāng)x取何值時(shí)，y取最小值，y的最小值是多少？

③當(dāng)x<1時(shí)，證明y隨著x增大而變化的規(guī)律．

Answer 1

【答案】（1）S＝,當(dāng)x＝－2時(shí)，S的最小值為0；（2）①當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x增大而減�。划�(dāng)1≤x≤5時(shí)，y是一個(gè)固定的值；當(dāng)x＞5時(shí)，y隨x增大而增大，②當(dāng)1≤x≤5時(shí)，y取最小值，y的最小值是4，③當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x增大而減�。�

【解析】

(1)根據(jù)x軸上兩點(diǎn)之間的距離等于它們差的絕對值，以及絕對值的意義可直接寫出結(jié)論；

（2）根據(jù)x軸上兩點(diǎn)之間的距離等于它們差的絕對值，得出PM和PN的距離，它們之和即為y.①分情況討論，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得y的變化情況；②根據(jù)y的變化情況可求；③當(dāng)x<1時(shí)，，根據(jù)函數(shù)的增減性可得.

（1）S＝；∵當(dāng)x＜2時(shí)y隨x增大而減小，當(dāng)x＞2時(shí)y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝－2時(shí)，S的最小值為0．

（2）由題意得y＝＋，根據(jù)絕對值的意義，

可轉(zhuǎn)化為y＝

①當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x增大而減�。�

當(dāng)1≤x≤5時(shí)，y是一個(gè)固定的值；

當(dāng)x＞5時(shí)，y隨x增大而增大．

②當(dāng)1≤x≤5時(shí)，y取最小值，y的最小值是4．

③當(dāng)x＜1時(shí)，，∵-2＜0

∴當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x增大而減小．