Question

【題目】已知銳角的余弦值為，點在射線上，，點在的內(nèi)部，且，．過點的直線分別交射線、射線于點、．點在線段上（點不與點重合），且．

（1）如圖1，當時，求的長；

（2）如圖2，當點在線段上時，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)定義域；

（3）聯(lián)結(jié)，當與相似時，請直接寫出的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）由銳角三角函數(shù)可求AC＝15，根據(jù)勾股定理和三角形面積公式可求AB，AF的長，即可求EF的長；

（2）通過證△FAE∽△FCA和△BDE∽△CFA，可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（3）分△ADF∽△CEA，△ADF∽△CAE兩種情況討論，通過等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形性質(zhì)可求BD的長．

解：（1）在中

（2）過點作于點

，，

，，

又，

，，

，，

（3）如圖，若△ADF∽△CAE，

∵△△ADF∽△CEA，

∴∠ADF＝∠AEC，

∵∠EAF＝∠MBN，∠EAF+∠DAF＝180°，

∴∠DAF+∠MBN＝180°，

∴點A，點F，點B，點D四點共圓，

∴∠ADF＝∠ABF，

∴∠ADF＝∠AEC＝∠ABF，

∴AB＝AE，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ABC+∠ACB＝90°，且∠ABF＝∠AEC，∠ACB＝∠MBN＝∠EAF，

∴∠AEC+∠EAF＝90°，∠AEC+∠MBN＝90°，

∴∠BDE＝90°＝∠AFC，

∵S△ABC=×AB×AC=×BC×AF，

∴AF，

∴BF=，

∵AB＝AE，∠AFC＝90°，

∴BE＝2BF＝32，

∴cos∠MBN=，

∴BE=，

如圖，若△ADF∽△CAE，

∵△ADF∽△CAE，

∴∠ADF＝∠CAE，∠AFD＝∠AEC，

∴AC//DF

∴∠DFB＝∠ACB，且∠ACB＝∠MBN，

∴∠MBN＝∠DFB，

∴DF＝BD，

∵∠EAF＝∠MBN，∠EAF+∠DAF＝180°，

∴∠DAF+∠MBN＝180°，

∴點A，點F，點B，點D四點共圓，

∴∠ADF＝∠ABF，

∴∠CAE＝∠ABF，且∠AEC＝∠AEC，

∴△ABE∽△CAE

∴

設(shè)CE＝3k，AE＝4k，(k≠0)

∴BE=，

∵BC＝BECE＝25

∴k=

∴AE=，CE=，BE=

∵∠ACB＝∠FAE，∠AFC＝∠AFE，

∴△AFC∽△EFA，

∴，

設(shè)AF＝7a，EF＝20a，

∴CF=，

∵CE＝EFCF=，

∴a=，

∴EF=，/p>

∵AC//DF，

∴，

∴，

故答案為：或