Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將拋物線y＝﹣x2平移后經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）、B（4，0），且平移后的拋物線與y軸交于點(diǎn)C（如圖）．

（1）求平移后的拋物線的表達(dá)式；

（2）如果點(diǎn)D在線段CB上，且CD＝，求∠CAD的正弦值；

（3）點(diǎn)E在y軸上且位于點(diǎn)C的上方，點(diǎn)P在直線BC上，點(diǎn)Q在平移后的拋物線上，如果四邊形ECPQ是菱形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）sin∠CAD=；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4-，5-2）．

【解析】

（1）根據(jù)平移前后a的值不變，用待定系數(shù)法求解即可；

（2）求出直線BC的解析式，確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AC，垂足分別為點(diǎn)M、N，運(yùn)用面積法求出BN，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出DM，根據(jù)直角三角函數(shù)求解即可；

（3）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（n，﹣n2+3n+4），如果四邊形ECPQ是菱形，則n＞0，PQ∥y軸，PQ＝PC，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，﹣n+4），根據(jù)鄰邊相等列出方程即可求解．

（1）設(shè)平移后的拋物線的解析式為y＝﹣x2+bx+c．

將A（﹣1，0）、B（4，0），代入得

解得：

所以，y＝﹣x2+3x+4．

（2）如圖1

∵y＝﹣x2+3x+4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）．

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+4，將B（4，0），代入得kx+4＝0，解得k＝﹣1，

∴y＝﹣x+4．

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，4﹣m）．

∵CD＝，∴2＝2m2，解得m＝1或m＝﹣1（舍去），

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3）．

過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AC，垂足分別為點(diǎn)M、N．

∵，

∴，

∴．

∵DM∥BN，∴，

∴，

∴．

∴．

（3）如圖2

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（n，﹣n2+3n+4）．

如果四邊形ECPQ是菱形，則n＞0，PQ∥y軸，PQ＝PC，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，﹣n+4）．

∵PQ＝﹣n2+3n+4+n﹣4＝4n﹣n2，，

∴，解得或n＝0（舍）．

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）．