Question

已知：某函數(shù)的自變量x＞0時，其相應(yīng)的函數(shù)值y＞1．
（1）請寫出一個滿足條件的一次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)函數(shù)的解析式為y=（m+4）x²-2（m+4）x+5-m時，求m的取值范圍；
（3）過動點(diǎn)C（0，n）作直線l⊥y軸，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
①當(dāng)直線l與（2）中的拋物線只有一個公共點(diǎn)時，求n的取值范圍；
②當(dāng)直線l與（2）中的拋物線相交于A、B兩點(diǎn)時，是否存在實(shí)數(shù)n，使得△AOB的面積為定值？如果存在，求出n的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）只要y=kx+b中只要k＞0則y隨x的增大而增大，因而只要b≥1即可滿足條件；
（2）當(dāng)m=-4時，是一個常數(shù)函數(shù)，當(dāng)m≠-4時，首先表示出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)y＞0，可以得到拋物線開口向上，且頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于1，即可求得m的范圍；
（3）①直線l與（2）的拋物線只有一個公共點(diǎn)，則頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是n，即可得到m、n的關(guān)系，根據(jù)m的范圍即可求得n的范圍；
②把y=n代入拋物線的解析式，對于任意的m的值，得到的式子恒成立，據(jù)此即可求得n的值，則根據(jù)A、B的坐標(biāo)的關(guān)系即可作判斷．

解答：解：（1）y=x+2（答案不唯一）；

（2）當(dāng)m=-4時，y=9；
當(dāng)m≠-4時，y=（m+4）x²-2（m+4）+5-m的頂點(diǎn)坐標(biāo)是：（1，-2m+1），
根據(jù)題意得：

m＞-4 -2m+1＞1

，
解得：-4＜m＜0．
綜上所述，m的范圍是：-4＜m＜0；

（3）①∵直線l與（2）的拋物線只有一個公共點(diǎn)，
∴n=-2m+1
∵-4＜m＜0，
∴n的范圍是：1＜n＜9；
②結(jié)論：存在實(shí)數(shù)n，使得△AOB的面積為定值．
理由：n=（m+4）x²-2（m+4）x+5-m，
整理，得：（x²-2x-1）m+（4x²-8x+5-n）=0，
∵對于任意的m的值，上式恒成立，
∴

x2-2x-1=0 4x2-8x+5-n=0

，
解得：n=9．
∴當(dāng)n=9時，對于任意的m的值，二次函數(shù)y=（m+4）x²-2（m+4）x+5-m的圖象都通過點(diǎn)（1-

2

，9）和點(diǎn)（1+

2

，9），即△AOB的底AB=2

2

，高是9，因此面積是定值．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法等知識點(diǎn)，還涉及到的知識點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．