Question

如圖，直線y=x+3與坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx﹣3a經(jīng)過點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為C，連接CB并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸MN對(duì)稱．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）求證：四邊形ABCD是直角梯形．

 

Answer 1

【答案】

(1) y=﹣x²﹣2x+3, （﹣1，4）； （2）證明如下.

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)直線y=x+3求得點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)的解析式求得其解析式，然后求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（2）根據(jù)B、D關(guān)于MN對(duì)稱，C（-1，4），B（0，3）求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后得到AD與BC不平行，∴四邊形ABCD是梯形，再根據(jù)∠ABC=90°得到四邊形ABCD是直角梯形．

試題解析：（1）∵y=x+3與坐標(biāo)軸分別交與A、B兩點(diǎn)，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)（﹣3，0）、B點(diǎn)坐標(biāo)（0，3）.

∵拋物線y=ax²+bx﹣3a經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，

∴，解得.

∴拋物線解析式為：y=﹣x²﹣2x+3.

∵y=﹣x²﹣2x+3=﹣（x+1）²+4，

∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，4）.

（2）∵B、D關(guān)于MN對(duì)稱，C（﹣1，4），B（0，3），∴D（﹣2，3）.

∵B（3，0），A（﹣3，0），

∴OA=OB.

又∠AOB=90°，

∴∠ABO=∠BAO=45°.

∵B、D關(guān)于MN對(duì)稱，

∴BD⊥MN.

又∵M(jìn)N⊥X軸，∴BD∥X軸.

∴∠DBA=∠BAO=45°.

∴∠DBO=∠DBA+∠ABO=45°+45°=90°.

∴∠ABC=180°﹣∠DBO=90°.

∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=45°.

∵CM⊥BD，∴∠MCB=45°.

∵B，D關(guān)于MN對(duì)稱，

∴∠CDM=∠CBD=45°，CD∥AB.

又∵AD與BC不平行，

∴四邊形ABCD是梯形.

∵∠ABC=90°，

∴四邊形ABCD是直角梯形

考點(diǎn)：(1)二次函數(shù)；（2）直角梯形.