Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分線AF與BD、BC分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，直線OK∥AF，交AD于點(diǎn)K，交BC于點(diǎn)G．
（1）求證：①△DOK≌△BOG；②AB+AK=BG；
（2）若KD=KG，BC=4﹣ ．
①求KD的長度；
②如圖2，點(diǎn)P是線段KD上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)D、K重合），PM∥DG交KG于點(diǎn)M，PN∥KG交DG于點(diǎn)N，設(shè)PD=m，當(dāng)S△PMN= 時，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：①∵在矩形ABCD中，AD∥BC

∴∠KDO=∠GBO，∠DKO=∠BGO

∵點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)

∴DO=BO

∴△DOK≌△BOG（AAS）

②

∵四邊形ABCD是矩形

∴∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC

又∵AF平分∠BAD

∴∠BAF=∠BFA=45°

∴AB=BF

∵OK∥AF，AK∥FG

∴四邊形AFGK是平行四邊形

∴AK=FG

∵BG=BF+FG

∴BG=AB+AK

（2）

解：①由（1）得，四邊形AFGK是平行四邊形

∴AK=FG，AF=KG

又∵△DOK≌△BOG，且KD=KG

∴AF=KG=KD=BG

設(shè)AB=a，則AF=KG=KD=BG= a

∴AK=4﹣ ﹣ a，F(xiàn)G=BG﹣BF= a﹣a

∴4﹣ ﹣ a= a﹣a

解得a=

∴KD= a=2

②過點(diǎn)G作GI⊥KD于點(diǎn)I

由（2）①可知KD=AF=2

∴GI=AB=

∴S△DKG= ×2× =

∵PD=m

∴PK=2﹣m

∵PM∥DG，PN∥KG

∴四邊形PMGN是平行四邊形，△DKG∽△PKM∽△DPN

∴ ，即S△DPN=（ ）2×

同理S△PKM=（ ）2×

∵S△PMN=

∴S平行四邊形PMGN=2S△PMN=2×

又∵S平行四邊形PMGN=S△DKG﹣S△DPN﹣S△PKM

∴2× = ﹣（ ）2× ﹣（ ）2× ，即m2﹣2m+1=0

解得m1=m2=1

∴當(dāng)S△PMN= 時，m的值為1

【解析】（1）①先根據(jù)AAS判定△DOK≌△BOG，②再根據(jù)等腰三角形ABF和平行四邊形AFKG的性質(zhì)，得出結(jié)論BG=AB+AK；（2）①先根據(jù)等量代換得出AF=KG=KD=BG，再設(shè)AB=a，根據(jù)AK=FG列出關(guān)于a的方程，求得a的值，進(jìn)而計算KD的長；②先過點(diǎn)G作GI⊥KD，求得S△DKG的值，再根據(jù)四邊形PMGN是平行四邊形，以及△DKG∽△PKM∽△DPN，求得S△DPN和S△PKM的表達(dá)式，最后根據(jù)等量關(guān)系S平行四邊形PMGN=S△DKG﹣S△DPN﹣S△PKM ， 列出關(guān)于m的方程，求得m的值即可．本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，解題時需要運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)．解答此題的關(guān)鍵是運(yùn)用相似三角形的面積之比等于相似比的平方這一性質(zhì)，并根據(jù)圖形面積的等量關(guān)系列出方程進(jìn)行求解，難度較大，具有一定的綜合性．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．