Question

【題目】在ABCD中，AB=5，BC=10，BC邊上的高AM=4，過(guò)BC邊上的動(dòng)點(diǎn)E（不與點(diǎn)B，C重合）作直線AB的垂線，EF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)M重合時(shí)，求EF的長(zhǎng)；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，連結(jié)DE，DF，求△DEF的面積；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△BEF與△CEG的周長(zhǎng)之間有何關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖①，

∵AB=5，AM=4，AM⊥BC，

∴BM= = =3，

∵S△ABM= AMBM= ABEF，

∴EF= = = ．

（2）

解：如圖②，

∵E為BC中點(diǎn)，BC=10，

∴BE=CE=5，

∴AB=BE=5，

∵EF⊥AB，AM⊥BC，

∴∠AMB=∠EFB=90°，

∵∠B=∠B，

∴△ABM≌△EBF，

∴EF=AM=4，BF=BM=3，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB∥DG，

∴FG⊥DG，∠B=∠ECG，

∵∠BFE=∠G=90°，

∴△BEF≌△CEG，

∴CG=BF=3，EF=EG=4，

∴DG=CD+CG=5+3=8，

∴S△DEF= EFDG= ×4×8=16；

（3）

解：圖③，

過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H，

∴HC⊥DG，

∴四邊形HFGC為矩形，

∴HC=FG=8，CG=FH，

∴BH= = =6，

∵△BFE和△CEG的周長(zhǎng)之和為：BE+EF+BF+EC+CG+EG，

=BC+FG+BH，

=10+8+6，

=24，

∴△BEE與△CEG的周長(zhǎng)之和為定值24．

【解析】（1）先由勾股定理求BM的長(zhǎng)，再利用面積法求EF；（2）要想求△DEF的面積，需要求底邊EF和高DG的長(zhǎng)，先證明△ABM≌△EBF，得EF=AM=4，再證明FG⊥DG，證明△BEF≌△CEG，得CG=3，求出DG=8，代入面積公式可以求△DEF的面積；（3）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H，利用勾股定理求BH的長(zhǎng)，寫(xiě)出△BEF與△CEG的周長(zhǎng)之和，發(fā)現(xiàn)：EF+EG=FG=8，BF+CG=BH=6，從而求出面積和為24，是定值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解三角形的面積的相關(guān)知識(shí)，掌握三角形的面積=1/2×底×高．