Question

已知：如圖1，點C為線段AB上一點，△ACM，△CBN都是等邊三角形，AN交MC于點E，BM交CN于點F．

（1）求證：AN=BM；

（2）求證：△CEF為等邊三角形；

（3）將△ACM繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，其他條件不變，在圖2中補出符合要求的圖形，并判斷第（1）、（2）兩小題的結(jié)論是否仍然成立（不要求證明）．

Answer 1

（1）證明：∵△ACM，△CBN是等邊三角形，

∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°，

∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，

即：∠ACN=∠MCB，

在△ACN和△MCB中，

AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC，

∴△ACN≌△MCB（SAS）．

∴AN=BM．

（2）證明：∵△ACN≌△MCB，

∴∠CAN=∠CMB．

又∵∠MCF=180°﹣∠ACM﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，

∴∠MCF=∠ACE．

在△CAE和△CMF中

∠CAE=∠CMF，CA=CM，∠ACE=∠MCF，

∴△CAE≌△CMF（ASA）．

∴CE=CF．

∴△CEF為等腰三角形．

又∵∠ECF=60°，

∴△CEF為等邊三角形．

（3）解：如右圖，

∵△CMA和△NCB都為等邊三角形，

∴MC=CA，CN=CB，∠MCA=∠BCN=60°，

∴∠MCA+∠ACB=∠BCN+∠ACB，即∠MCB=∠ACN，

∴△CMB≌△CAN，

∴AN=MB，

結(jié)論1成立，結(jié)論2不成立．