Question

（1）觀察發(fā)現(xiàn)
如題（a）圖，若點(diǎn)A，B在直線同側(cè)，在直線上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小．
做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，與直線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P
再如題（b）圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最�。�
做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為     ．  
   
（2）實(shí)踐運(yùn)用
如題（c）圖，已知⊙O的直徑CD為4，AD的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是弧AD的中點(diǎn)，在直徑CD上找一點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．

（3）拓展延伸
如題（d）圖，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點(diǎn)P，使∠APB=∠APD．保留作圖痕跡，不必寫出作法．

Answer 1

（1）；（2）；（3）如圖所示：

試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理求解即可；
（2）作點(diǎn)B關(guān)于CD的對稱點(diǎn)E，則點(diǎn)E正好在圓周上，連接OA、OB、OE，連接AE交CD與一點(diǎn)P，AP+BP最短，先根據(jù)軸對稱性證得△OBE為等邊三角形，即可證得△OAE為等腰直角三角形，從而求得結(jié)果；
（3）找B關(guān)于AC對稱點(diǎn)E，連DE延長交AC于P即可.
（1）BP+PE的最小值；
（2）作點(diǎn)B關(guān)于CD的對稱點(diǎn)E，則點(diǎn)E正好在圓周上，連接OA、OB、OE，連接AE交CD與一點(diǎn)P，AP+BP最短，

因?yàn)锳D的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是弧AD的中點(diǎn)，
所以∠AEB=15°，
因?yàn)锽關(guān)于CD的對稱點(diǎn)E，
所以∠BOE=60°，
所以△OBE為等邊三角形，
所以∠OEB=60°，
所以∠OEA=45°，
又因?yàn)镺A=OE，
所以△OAE為等腰直角三角形，
所以；
（3）找B關(guān)于AC對稱點(diǎn)E，連DE延長交AC于P即可，如圖所示：

點(diǎn)評：解決此類問題，一般都是運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)，將求折線問題轉(zhuǎn)化為求線段問題，其說明最短的依據(jù)是三角形兩邊之和大于第三邊．