Question

如圖，已知邊長為a的正方形ABCD，點E在AB上，點F在BC的延長線上，EF與AC交于點O，且AE=CF．
（1）若a=4，則四邊形EBFD的面積為

 

；
（2）若AE=

1

3

AB，求四邊形ACFD與四邊形EBFD面積的比；
（3）設BE=m，用含m的式子表示△AOE與△COF面積的差．

Answer 1

分析：（1）由AE=CF，∠EAD=∠FCD，AD=CD，得△DAE≌△DCF，即四邊形EBFD的面積與正方形ABCD的面積相等，且為16；
（2）梯形ACFD的面積可根據公式直接求出，四邊形EBFD的面積可根據S_{四邊形EBFD}=S_{四邊形EBCD}+S_△CFD=S_{四邊形EBCD}+S_△AED計算；
（3）△AOE與△COF的面積差，即為△ABC與△EBF的面積差．根據所給條件可以直接求得△ABC與△EBF的面積．

解答：解：（1）∵AE=CF，∠EAD=∠FCD，AD=CD，
∴△DAE≌△DCF，
∴四邊形EBFD的面積=正方形ABC的面積=4²=16；

（2）CF=AE=

1

3

AB=

a

3

，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BC=CD=AD=AB=a，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AD∥BC，
∴S_{四邊形ACFD}=

(CF+AD)CD

2

=

( a 3 +a)a

2

=

2a2

3

，
S_{四邊形EBFD}=S_{四邊形EBCD}+S_△CFD=S_{四邊形EBCD}+S_△AED=S_{正方形ABCD}=a²，
∴S_{四邊形ACFD}：S_{四邊形EBFD}=

2a2

3

：a²=2：3；

（3）CF=AE=a-m，FB=a+a-m=2a-m，
由（2）知∠ABC=90°，AB=BC，可得，
S_△AOE+S_{四邊形EOCB}=S_△ABC=

AB2

2

=

a2

2

，
S_△COF+S_{四邊形EOCB}=S_△EBF=

EB•FB

2

=

m(2a-m)

2

=

2am-m2

2

，
∴S_△AOE+S_{四邊形EOCB}-（S_△COF+S_{四邊形EOCB}）=

a2

2

-

2am-m2

2

=

a2-2am+m2

2

，
即S_△AOE-S_△COF=

a2-2am+m2

2

．

點評：綜合正方形性質與三角形全等解題，要求思維靈活，擅于變通．