Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，AE平分∠BAD，交BC于E．
（1）求證：四邊形ABED是菱形；
（2）若∠ABC=60°，BC=3AD，求證：∠CDE=90°．

Answer 1

解：（1）∵AD∥BC，
∴∠2=∠3，
∵AE是角平分線，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠3，
∴AD=AB=BE，且AD∥BE，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
又∵AB=BE，
∴四邊形ABED是菱形；

（2）作DF∥AE，交BC于點(diǎn)F，
由（1）知，△ABE是正三角形，
∴∠EDF=∠AED=∠1=60°，
又∵BC=3AD，
∴EF=DF=FC，
∴∠CDF=∠EFD=30°，
∴∠CDE=90°．
分析：（1）首先由AD∥BC與AE是角平分線，易證得：AD=AB=BE，且AD∥BE，即可證得：四邊形ABED是平行四邊形，繼而證得：四邊形ABED是菱形；
（2）首先作輔助線：作DF∥AE，交BC于點(diǎn)F，由△ABC是正三角形，求得：∠EDF=∠AED=∠1=60°，又由BC=3AD，易得EF=DF=FC，則可證：∠CDE=90°．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，菱形的判定以及直角三角形的判定等知識(shí)．題目綜合性較強(qiáng)，但難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．