Question

【題目】現(xiàn)有一副直角三角板（角度分別為30°、60°、90°和45°、45°、90°），如圖(1)所示，其中一塊三角板的直角邊AC垂直于數(shù)軸，AC的中點過數(shù)軸原點O，AC＝8，斜邊AB交數(shù)軸于點G，點G對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)是4；另一塊三角板的直角邊AE交數(shù)軸于點F，斜邊AD交數(shù)軸于點H．

（1）如果△AGH的面積是10，△AHF的面積是8，則點F對應(yīng)的數(shù)軸上的數(shù)是 ， 點H對應(yīng)的數(shù)軸上的數(shù)是；
（2）如圖(2)，設(shè)∠AHF的平分線和∠AGH的平分線交于點M，若∠HAO＝a，試用a來表示∠M的大小：（寫出推理過程）
（3）如圖(2)，設(shè)∠AHF的平分線和∠AGH的平分線交于點M，設(shè)∠EFH的平分線和
∠FOC的平分線交于點N，求∠N＋∠M的值．

Answer 1

【答案】
（1）-5；-1
（2）解：∵∠AHF的平分線和∠AGH的平分線交于點M，
∴2∠FHM=∠FHA，2∠HGM=∠HGA，
∵∠FHM=∠M+∠HGM，∠FHA=∠HGA+∠HAG，
∴2∠M+2∠HGM=∠HGA+∠HAG，
∴∠M=∠HAG=（∠HAO+∠OAG）= ɑ+22.5
（3）解： ∵∠EFH的平分線和∠FOC的平分線交于點N，
∴∠N=90°- ∠FAO=90°-∠FAH-∠OAH （可以直接利用∠N=90°-∠FAO）
=90°-15°- ∠OAH
=75°- ∠OAH，
∵∠M=∠OAH+22.5°，
∴∠M+∠N=97.5°．
【解析】解：（1）如圖1，∵AC的中點過數(shù)軸的原點O，AC=8，
∴AO=4，
∵△AGH的面積是10，
∴×4×GH=10，
解得GH=5，
又∵∠AOG=90,∠OAG=45，
∴OG=OA=4，
∴OH=1，
∴點H對應(yīng)的數(shù)軸上的數(shù)是1，
∵△AHF的面積是8，
∴FH4=8，
解得FH=4，
∴OF=OH+FH=5，
∴點F對應(yīng)的數(shù)軸上的數(shù)是5，
故答案為：5，1；
（1）根據(jù)中點的定義得出OA=4，根據(jù)三角形的面積得出×4×GH=10，從而得出GH的長度，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出OG=OA=4，從而得出OH的長，得到點H對應(yīng)的數(shù)軸上的數(shù)是1，再根據(jù)三角形的面積得出FH4=8，從而得出FH的長，根據(jù)OF=OH+FH，得出OF的長，從而得出點F對應(yīng)的數(shù)軸上的數(shù)是5；
（2）根據(jù)角平分線的定義得出2∠FHM= ∠FHA，2∠HGM= ∠HGA，根據(jù)三角形的外角定理得出∠FHM=∠M+∠HGM，∠FHA=∠HGA+∠HAG，根據(jù)等量代換得出2∠M+2∠HGM=∠HGA+∠HAG，根據(jù)等式的性質(zhì)從而得出答案∠M= ∠HAG= （∠HAO+∠OAG）= ɑ+22.5 ；
（3）直接利用結(jié)論∠N=90°- ∠FAO=75°- ∠OAH，又因∠M= ∠OAH+22.5°，從而得出∠M+∠N=97.5°．