如圖1,拋物線ynx2-11nx+24n (n<0) 與x軸交于BC兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)),拋物線上另有一點(diǎn)A在第一象限內(nèi),且∠BAC=90°.

(1)填空:點(diǎn)B的坐標(biāo)為(_        ),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(_        );

(2)連接OA,若△OAC為等腰三角形.

①求此時(shí)拋物線的解析式;

②如圖2,將△OAC沿x軸翻折后得△ODC,點(diǎn)M為①中所求的拋物線上點(diǎn)A與點(diǎn)C兩點(diǎn)之間一動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,過動(dòng)點(diǎn)M作垂直于x軸的直線lCD交于點(diǎn)N,試探究:當(dāng)m為何值時(shí),四邊形AMCN的面積取得最大值,并求出這個(gè)最大值.

 



解:(1)B(3,0),C(8,0)                

(2)①作AEOC,垂足為點(diǎn)E

∵△OAC是等腰三角形,∴OEEC×8=4,∴BE=4-3=1

又∵∠BAC=90°,∴△ACE∽△BAE,∴

AE2BE·CE=1×4,∴AE=2             

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為 (4,2)                       

把點(diǎn)A的坐標(biāo) (4,2)代入拋物線ynx2-11nx+24n,得n=-

∴拋物線的解析式為y=-x2x-12         

②∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,且點(diǎn)M在①中的拋物線上

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為 (m,-m2m-12),由①知,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,-2),

C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)求直線CD的解析式為yx-4

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為 (m,m-4)

MN=(-m2m-12)-(m-4)=-m2+5m-8 

S四邊形AMCNSAMNSCMNMN·CE(-m2+5m-8)×4

          =-(m-5)2+9                         

∴當(dāng)m=5時(shí),S四邊形AMCN=9                          


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