Question

【題目】已知直線 y13x 6與 x 軸、y 軸分別交于點(diǎn) A，C；過點(diǎn) C 的直線 y2x b 與 x 軸交于點(diǎn) B．

（1）b 的值為 ；

（2）若點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（0，﹣2），將△BCD 沿直線 BC 對折后，點(diǎn) D 落到第一象限的點(diǎn) E 處， 求證：四邊形 ABEC 是平行四邊形；

（3）在直線 BC 上是否存在點(diǎn) P，使得以 P、A、D、B 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？ 如果存在，請求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 6； (2)見解析； (3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，2)或(8，)

【解析】

(1)先由點(diǎn)C在直線上，求出點(diǎn)C坐標(biāo)，代入直線中即可；
(2)先求出∠OBC=∠OCB=45°，進(jìn)而判斷出CE∥AB，最后判斷出CE=AB即可；
(3) ∠OAD=∠ODA=45，∠OBC=∠OCB=45°，判斷出AD∥BC，使得以P、A、D、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，只要AD=PB即可，利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出點(diǎn)P坐標(biāo)．

(1)∵直線與軸交于點(diǎn)A，與軸交于點(diǎn)C，

令，則，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，6)，
∵直線過點(diǎn)C，

將點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，6)代入，
解得：，
故答案為：6；
(2)當(dāng)時(shí)，直線BC的解析式為，

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，6)，

∴OC=6，

令得，，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6，0)，

∴OB=6，
∴OB=OC=6，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
由折疊的性質(zhì)得：∠BCE=∠OCB=45°，CE=CD，

∴∠OBC=∠BCE=45，
∴CE∥AB，
由，令得，，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，0)，

∴OA=2，
∴AB=OA+OB=2+6=8，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，)，

∴OD=2，

∴CE=CD=OC+OD=8，

∴CE=AB，

又∵CE∥AB，
∴四邊形ABEC為平行四邊形；
(3)存在點(diǎn)P，使以P、A、D、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

如圖，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，0)、點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，)，

∴OA=OD=2，

∴，∠OAD=∠ODA=45，
由(2)得：∠OBC=∠BCE=45，

∴∠OBC=∠BCE=∠OAD=∠ODA=45，

∴AD∥BC，

∵直線BC解析式為，且點(diǎn)P在直線BC上，
∴設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(，)，
∴

，
∵以P、A、D、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴PB=AD，
∴，

∴，
∴，，
∴P(4，2)或P(8，)，
綜上所述，存在點(diǎn)P，使以P、A、D、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，2)或(8，)．