【題目】已知:如圖,直線軸負半軸交于點,與軸正半軸交于點,線段的長是方程的一個根,請解答下列問題:

1)求點的坐標;

2)雙曲線與直線交于點,且,求的值;

3)在(2)的條件下,點在線段上,,直線軸,垂足為,點在直線上,在直線上的坐標平面內(nèi)是否存在點,使以點、、為頂點的四邊形是矩形?若存在,請求出點的坐標;若不存在,請說明理由。

【答案】(1);(2)10;(3)

【解析】

1)解方程x2-7x-8=0得:x=8,或x=-1,得出OA=8A-8,0),代入y=x+b求出b=4,即可得出B04);
2)在RtAOB中,由勾股定理求出AB= ,過點CCHx軸于H,則CHOB,由平行線得出AOB∽△AHC,得出,求出CH=5,AH=10,得出OH=2,C2,5),代入雙曲線得出k=10即可;
3)先求出點E的坐標,再分三種情況討論計算即可得出結(jié)論.

解:(1)解方程.

∵線段的長是方程的一個根,

的長是正數(shù)

代入,得,

·

2)在中,

.

如圖,過點軸于點,則,

解得,

,

∵雙曲線()經(jīng)過點,

·

3)存在

①當為以點為頂點的矩形的一邊時,過點軸于點,作交直線于點,如圖所示,

,

,

,

,

∴設直線的函數(shù)表達式為,

代入,得

解得,

∴直線的函數(shù)表達式為

時,,

,

.(注:也可以用三角形相似求解 如圖3

3

∴點的坐標為;(點的平移)

為以點為頂點的矩形的一邊時,同理得出滿足條件的另一點的坐標為;

②當為以點為頂點的矩形的對角線時,點在直線的下方,不符合題意。

∴滿足條件的的坐標為

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A. B. C. D.

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