如圖,正方形ABCD中,M為BC上一點,且數(shù)學公式.△AMN為等腰直角三角形,斜邊AN與CD交于點F,延長AN與BC的延長線交于點E,連接MF、CN,作NG⊥BE,垂足為G,下列結論:①△ABM≌△MGN;②△CNG為等腰直角三角形;③MN=EN;④S△ABM=S△CEN;⑤BM+DF=MF.其中正確的個數(shù)為


  1. A.
    2個
  2. B.
    3個
  3. C.
    4個
  4. D.
    5個
C
分析:①利用等腰直角三角形的性質,互余關系可證△ABM≌△MGN;②由①的結論推出NG=CG即可;③由已知BM=BC,設AB=BC=3x,則MG=MC+CG=BC=3x,CG=NG=x,由NG∥AB得△EGN∽△EBA,利用相似比證明MG≠EG即可;④分別求兩個三角形的底和高,再比較面積;⑤利用旋轉法將△AMB繞A點逆時針旋轉90°到△AHD的位置,證明△AHF≌△AMF即可.
解答:①∵△AMN為等腰三角形,∴AM=MN,∠AMN=90°,
∴∠AMB=90°-∠NMG=∠MNG,又∠B=∠NGM=90°,
∴△ABM≌△MGN,正確;
②由△ABM≌△MGN,得NG=BM,而CG=MG-MC=AB-MC=BC-MC=BM,∴NG=CG,
又∠CNG=90°,∴△CNG為等腰直角三角形,正確;
③設AB=BC=3x,則MG=MC+CG=BC=3x,CG=NG=x,
由NG∥AB得△EGN∽△EBA,
==,EG=BG=2x,MG≠EG,故MN≠EN,錯誤;
④由③可知AB=CE=3x,又BM=NG,
∴S△ABM=S△CEN,正確;
⑤如圖,延長CD到H,使DH=BM,可證△ABM≌△ADH,
∴AM=AH,∠BAM=∠DAH,
∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAM+∠DAF=90°-∠MAF=90°-45°=45°,
又AF=AF,
∴△AHF≌△AMF,
∴HF=MF,即BM+DF=MF,正確.
正確的有四個.
故選C.
點評:本題考查了三角形全等,三角形相似的判定與性質,特殊三角形的判定,正方形的性質.關鍵是明確線段之間的關系.
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