Question

如圖，已知△ABC中，BC=AC=8厘米，∠C=90°，如果點(diǎn)P在線段AC上以1厘米/秒的速度由A點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段BC上由C點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動，運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)．
（1）在點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動過程中，△APM與△CQM是否保持全等，請說明理由；
（2）在點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動過程中，四邊形PMQC的面積是否變化？若變化說明理由；若不變，求出這個四邊形的面積；
（3）線段AP、PQ、BQ之間存在什么數(shù)量關(guān)系，寫出這個關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

解：（1）在點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動過程中，△APM與△CQM是否保持全等．理由如下：
∵在△ABC中，BC=AC=8厘米，∠C=90°，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，
∴∠A=∠MCQ=45°，AM=CM，
∴在△APM與△CQM中，，
∴△APM與△CQM（SAS）；

（2）在點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動過程中，四邊形PMQC的面積不變化，其面積是32厘米²，理由如下：
由（1）知，△APM與△CQM，
∴S_△APM=S_△CQM，
∴S_{四邊形PMQC}=S_△AMC=S_△ABC=AC•BC=×8×8=32（厘米²），即在點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動過程中，四邊形PMQC的面積不變化，其面積是32厘米²；

（3）AP²+BQ²=PQ²．證明如下：
∵由（1）知，△APM與△CQM，
∴AP=CQ，
又AC=BC，
∴PC=BQ，
∴AP²+BQ²=CQ²+CP²=PQ²．即AP²+BQ²=PQ²．
分析：（1）通過SAS證得△APM與△CQM；
（2）由（1）中的全等三角形的面積相等可以推知：S_{四邊形PMQC}=S_△AMC=S_△ABC；
（3）AP²+BQ²=PQ²．利用（1）中的全等三角形的對應(yīng)邊相等推知AP=CQ，則PC=BQ，所以在直角△PCQ中，利用勾股定理推得AP²+BQ²=PQ²．
點(diǎn)評：本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．