【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(﹣1,0)、B(2,0),與y軸交于點C(0,﹣2),頂點為P
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖,若直線PM與BC交于Q,且sin∠CQP=,求點M的坐標;
(3)將拋物線平移至頂點為坐標原點,過F(0,)的直線交拋物線于G、H,GO交直線y=﹣于點N,求證:HN∥y軸.
【答案】(1)y=x2﹣x﹣2;(2)M(,);(3)見解析
【解析】
(1)函數(shù)的表達式為:y=a(x+1)(x﹣2)=a(x2﹣x﹣2),即可求解;
(2)過點C作PM的平行線交x軸于點H,過點H作HG⊥BC于點G,求出點H(,0),確定直線PQ的表達式,即可求解.
(3)直線HG的表達式為:y=x2x,則點N的坐標為(﹣,﹣),由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得:x1x2=﹣,則x1=﹣,即可求解.
(1)函數(shù)的表達式為:y=a(x+1)(x﹣2)=a(x2﹣x﹣2),
故﹣2a=﹣2,解得:a=1,
故函數(shù)的表達式為:y=x2﹣x﹣2;
(2)過點C作PM的平行線交x軸于點H,過點H作HG⊥BC于點G,
則∠HCB=∠CQP,
∵OB=OC=2,
∴∠OBC=45°,
設(shè):OH=m,則BH=2﹣m,HG=BHsin∠OBC=(2﹣m),HC=,
sin∠HCB==sin∠CQP=,即:=,
解得:m=(不合題意的值已舍去),則點H(,0),
則直線CH表達式中的k值為:3,
設(shè)直線PQ的表達式為:y=3x+n,
將點(,﹣)的坐標代入上式并解得:
直線PM的表達式為:y=3x﹣…②,
聯(lián)立①②并解得:x=或(舍去),
故點M(,);
(3)新函數(shù)的表達式為:y=x2…③,
設(shè)點H、G的坐標分別為(x1,x12)、(x2,x22),
則直線HG的表達式為:y=x2x,
則點N的坐標為(﹣,﹣);
設(shè)直線HG的表達式為:y=kx+…④,
聯(lián)立③④并整理得:x2﹣kx﹣=0,
則x1x2=﹣,x1=﹣
則點H的橫坐標為:﹣,
點H、N的橫坐標均為:﹣,
故HN∥y軸.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過△OAB的三個頂點,其中點A(1,),點B(3,﹣),O為坐標原點.
(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式;
(2)若P(4,m),Q(t,n)為該拋物線上的兩點,且n<m,求t的取值范圍;
(3)若C為線段AB上的一個動點,當(dāng)點A,點B到直線OC的距離之和最大時,求∠BOC的大小及點C的坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,拋物線y=x2﹣x+2與直線y=x﹣2的圖象如圖,點P是拋物線上的一個動點,則點P到直線y=x﹣2的最短距離為( 。
A.B.C.2D.
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【題目】我們給出如下定義:有一組相鄰內(nèi)角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形.請解答下列問題:
(1)寫出一個你所學(xué)過的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱;
(2)如圖1,在△ABC中,AB=AC,點D在BC上,且CD=CA,點E、F分別為BC、AD的中點,連接EF并延長交AB于點G.求證:四邊形AGEC是等鄰角四邊形;
(3)如圖2,若點D在△ABC的內(nèi)部,(2)中的其他條件不變,EF與CD交于點H,圖中是否存在等鄰角四邊形,若存在,指出是哪個四邊形,并證明;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AC平分∠DAB,AD=3,AC=,DC=,且∠ADC+∠ACB=180°,則AB的長為_____.
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【題目】如圖所示,某學(xué)校有一邊長為20米的正方形區(qū)域(四周陰影是四個全等的矩形,記為區(qū)域甲;中心區(qū)是正方形,記為區(qū)域乙).區(qū)域甲建設(shè)成休閑區(qū),區(qū)域乙建成展示區(qū),已知甲、乙兩個區(qū)域的建設(shè)費用如下表:
區(qū)域 | 甲 | 乙 |
價格(百元米2) | 6 | 5 |
設(shè)矩形的較短邊的長為米,正方形區(qū)域建設(shè)總費用為百元.
(1)的長為 米(用含的代數(shù)式表示);
(2)求關(guān)于的函數(shù)解析式;
(3)當(dāng)中心區(qū)的邊長要求不低于8米且不超過12米時,預(yù)備建設(shè)資金220000元夠用嗎?請利用函數(shù)的增減性來說明理由.
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【題目】某小組做“用頻率估計概率”的實驗時,繪出的某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率折線圖,則符合這一結(jié)果的實驗可能是( 。
A. 拋一枚硬幣,出現(xiàn)正面朝上
B. 擲一個正六面體的骰子,出現(xiàn)3點朝上
C. 一副去掉大小王的撲克牌洗勻后,從中任抽一張牌的花色是紅桃
D. 從一個裝有2個紅球1個黑球的袋子中任取一球,取到的是黑球
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【題目】如圖,一元二次方程x2+2x﹣3=0的二根x1,x2(x1<x2)是拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個交點B,C的橫坐標,且此拋物線過點A(3,6).
(1)求此二次函數(shù)的解析式;
(2)寫出不等式ax2+bx+c≥0的解集;
(3)設(shè)此拋物線的頂點為P,對稱軸與線段AC相交于點Q,求點P和點Q的坐標;
(4)在x軸上有一動點M,當(dāng)MQ+MA取得最小值時,求M點的坐標.
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【題目】如圖,已知△ABC,直線PQ垂直平分AC,與邊AB交于點E,連接CE,過點C作CF∥BA交PQ于點F,連接AF.
(1)求證:△AED≌△CFD;
(2)求證:四邊形AECF是菱形.
(3)若ED=6,AE=10,則菱形AECF的面積是多少?
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