Question

如圖1，在四邊形ABCD中，∠D=90°，BC∥AD．BC=20，DC=16，AD=30，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)D、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）
（1）設(shè)△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，使得線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)O，且2AO=OB；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，使得PQ⊥BD；
（4）當(dāng)t為何值時(shí)，以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形

Answer 1

分析：（1）由CQ=t，PD=2t，∴BQ=20-t，則可求出答案；
（2）根據(jù)△BOQ∽△AOP即可得出答案；
（3）作QM⊥AD，則△PQM∽△DCB，即可得出答案；
（4）分三種情況討論即可得出答案；

解答：解：（1）CQ=t，PD=2t，∴BQ=20-t，∴s=

1

2

（20-t）×16=-8t+160；
（2）由題知：AP=2t-30，則△BOQ∽△AOP，
∴

BQ

AP

=

BO

AO

=2，∴

20-t

2t-30

=2，解得t=16，經(jīng)檢驗(yàn)知16是方程的根，所以當(dāng)t=16s時(shí)，2AO=OB；

（3）作QM⊥AD，
則△PQM∽△DCB，
∴

PQ

DC

=

QM

CB

=

PM

DB

，
∴

16

20

=

t

16

，
解得：t=12.8s；

（4）①當(dāng)PB=PQ時(shí)，NQ=BN，∴20-2t=t，t=

20

3

；

②當(dāng)PQ=BQ時(shí)，t²+16²=（20-t）²，解得t=3.6；
③當(dāng)BQ=PB時(shí)，無(wú)解，
綜上所述當(dāng)t=

20

3

或3.6時(shí)，以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，難度較大，關(guān)鍵是掌握分類(lèi)討論的思想解題．