(2012•黑河)如圖1,在正方形ABCD中,點M、N分別在AD、CD上,若∠MBN=45°,易證MN=AM+CN
(1)如圖2,在梯形ABCD中,BC∥AD,AB=BC=CD,點M、N分別在AD、CD上,若∠MBN=
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∠ABC,試探究線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關系?請寫出猜想,并給予證明.
(2)如圖3,在四邊形ABCD中,AB=BC,∠ABC+∠ADC=180°,點M、N分別在DA、CD的延長線上,若∠MBN=
1
2
∠ABC,試探究線段MN、AM、CN又有怎樣的數(shù)量關系?請直接寫出猜想,不需證明.
分析:(1)先判定梯形ABCD是等腰梯形,根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得∠A+∠BCD=180°,再把△ABM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°,點A與點C重合,點M到達點M′,根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì),△ABM和△CBM′全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AM=CM′,BM=BM′,根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠A=∠BCM′,∠ABM=∠M′BC,然后證明M′、C、N三點共線,再利用“邊角邊”證明△BMN和△BM′N全等,然后根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得證;
(2)在∠CBN內(nèi)部作∠CBM′=∠ABM交CN于點M′,然后證明∠C=∠BAM,再利用“角邊角”證明△ABM和△CBM′全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AM=CM′,BM=BM′,再證明∠MBN=∠M′BN,利用“邊角邊”證明△MBN和△M′BN全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得MN=M′N,從而得到MN=CN-AM.
解答:解:(1)MN=AM+CN.
理由如下:
如圖,∵BC∥AD,AB=BC=CD,
∴梯形ABCD是等腰梯形,
∴∠A+∠BCD=180°,
把△ABM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到△CBM′,則△ABM≌△CBM′,
∴AM=CM′,BM=BM′,∠A=∠BCM′,∠ABM=∠M′BC,
∴∠BCM′+∠BCD=180°,
∴點M′、C、N三點共線,
∵∠MBN=
1
2
∠ABC,
∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN=
1
2
∠ABC,
∴∠MBN=∠M′BN,
在△BMN和△BM′N中,
BM=BM′
∠MBN=∠M′BN
BN=BN
,
∴△BMN≌△BM′N(SAS),
∴MN=M′N,
又∵M′N=CM′+CN=AM+CN,
∴MN=AM+CN;


(2)MN=CN-AM.
理由如下:如圖,作∠CBM′=∠ABM交CN于點M′,
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠BAD+∠C=360°-180°=180°,
又∵∠BAD+∠BAM=180°,
∴∠C=∠BAM,
在△ABM和△CBM′中,
∠CBM′=∠ABM
AB=BC
∠C=∠BAM

∴△ABM≌△CBM′(ASA),
∴AM=CM′,BM=BM′,
∵∠MBN=
1
2
∠ABC,
∴∠M′BN=∠ABC-(∠ABN+∠CBM′)=∠ABC-(∠ABN+∠ABM)=∠ABC-∠MBN=
1
2
∠ABC,
∴∠MBN=∠M′BN,
在△MBN和△M′BN中,
BM=BM′
∠MBN=∠M′BN
BN=BN

∴△MBN≌△M′BN(SAS),
∴MN=M′N,
∵M′N=CN-CM′=CN-AM,
∴MN=CN-AM.
點評:本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰梯形的兩底角互補,利用旋轉(zhuǎn)變換作輔助線,構(gòu)造出全等三角形,把MN、AM、CN通過等量轉(zhuǎn)化到兩個全等三角形的對應邊是解題的關鍵,本題靈活性較強,對同學們的能力要求較高.
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(-21006,-21006
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289
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x2+bx+c與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,且OA=2,OC=3.
(1)求拋物線的解析式.
(2)若點D(2,2)是拋物線上一點,那么在拋物線的對稱軸上,是否存在一點P,使得△BDP的周長最?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
注:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸是直線x=-
b
2a

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(1)求A、B兩點的坐標.
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(3)當t=2時,在坐標平面內(nèi),是否存在點M,使以A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出M點的坐標;若不存在,請說明理由.

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