Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+bx+c與軸相交于A、B兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)C，OA=1，OC=3，連接BC．

（1）求b的值；

（2）點(diǎn)D是直線BC上方拋物線一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)B、C除外），當(dāng)△BCD的面積取得最大值時(shí)，在軸上是否存在一點(diǎn)P，使得|PB﹣PD|最大，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）在（2）的條件下，若在平面上存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、C、D、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）b=2，c=3；（2）P（0，）；（3） （-，），（，-），（，），

【解析】

（1）根據(jù)OA=1，OC=3得出點(diǎn)A和C的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式列方程組可得b的值；（2）寫出拋物線的解析式，利用三角形面積公式可知，當(dāng)?shù)走匓C一定時(shí)，高最大時(shí)其△BCD的面積最大，即作BC的平行線，其平行線的距離最大時(shí)，即平行線l與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)為D，利用方程組的解可得D的坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定當(dāng)P、B、D三點(diǎn)共線時(shí)，|PB﹣PD|最大，利用待定系數(shù)法求直線BD的解析式，與y軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)P；（3）如圖4，畫出平行四邊形，有三種情況：根據(jù)平移規(guī)律確定Q的坐標(biāo)．

（1）∵OA=1，OC=3，
∴A（-1，0），C（0，3），
把A（-1，0），C（0，3）代入拋物線y=-x2+bx+c中得：
∵，
（2）由（1）得：拋物線y=-x2+2x+3，
當(dāng)y=0時(shí)，-x2+2x+3=0，
解得：x=-1或3，
∴B（3，0），
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，

，
∴直線BC的解析式為：y=-x+3，
如圖1，作直線l∥BC，

設(shè)直線l的解析式為：y=-x+b，
由題意可知：△BCD中邊BC長(zhǎng)一定，當(dāng)△BCD的面積取得最大值時(shí)，即以BC為底邊，其高最大，
也就是直線l與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，三角形高最大，△BCD的面積最大，
則，

-x2+2x+3=-x+b，
x2-3x+b-3=0，
△=（-3）2-4×1×（b-3）=0，
，
∵P是y軸上任意一點(diǎn)，
如圖2，|PB-PD|＜BD，
∴當(dāng)P、B、D三點(diǎn)共線時(shí)，|PB-PD|最大，如圖3，

（3）如圖4，分三種情況：

①當(dāng)CD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，