Question

一種電訊信號轉(zhuǎn)發(fā)裝置的發(fā)射直徑為31km．現(xiàn)要求：在一邊長為30km的正方形城區(qū)選擇若干個安裝點(diǎn)，每個點(diǎn)安裝一個這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號能完全覆蓋這個城市．問：
（1）能否找到這樣的4個安裝點(diǎn)，使得這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？
（2）至少需要選擇多少個安裝點(diǎn)，才能使這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？
答題要求：請你在解答時，畫出必要的示意圖，并用必要的計算、推理和文字來說明你的理由．（下面給出了幾個邊長為30km的正方形城區(qū)示意圖，供解題時選用）

Answer 1

分析：（1）可把正方形分割為四個全等的正方形，作出這些正方形的對角線，把裝置放在交點(diǎn)處，交點(diǎn)到其余各個小正方形頂點(diǎn)的距離相等通過計算看是否適合；
（2）由（1）得到啟示，把正方形分割為三個長方形，左邊的一個矩形的對角線是能輻射的最大直徑31，看能否把三個裝置放在三個長方形的對角線的交點(diǎn)處．

解答：解：（1）將圖1中的正方形等分成如圖的四個小正方形，將這4個轉(zhuǎn)發(fā)裝置安裝在這4個小正方形對角線的交點(diǎn)處，
此時，每個小正方形的對角線長為

1

2

•30

2

=15

2

＜31，每個轉(zhuǎn)發(fā)裝置都能完全覆蓋一個小正方形區(qū)域，
故安裝4個這種裝置可以達(dá)到預(yù)設(shè)的要求．
（3分）（圖案設(shè)計不唯一）


（2）將原正方形分割成如圖2中的3個矩形，使得BE=31，H是CD的中點(diǎn)，將每個裝置安裝在這些矩形的對角線交點(diǎn)處，
則AE=

312-302

=

61

，DE=30-

61

，
∴DO=

(30- 61 )2+152

≈26.8＜31，即如此安裝三個這個轉(zhuǎn)發(fā)裝置，
能達(dá)到預(yù)設(shè)要求．（6分）
要用兩個圓覆蓋一個正方形，則一個圓至少要經(jīng)過正方形相鄰兩個頂點(diǎn)．如圖3，用一個直徑為31的⊙O去覆蓋邊長為30的正方形ABCD，設(shè)⊙O經(jīng)過A，B，⊙O與AD交于E，連BE，則AE=

312-302

=

61

＜15=

1

2

AD，這說明用兩個直徑都為31的圓不能完全覆蓋正方形ABCD．
所以，至少要安裝3個這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，才能達(dá)到預(yù)設(shè)要求．（8分）
評分說明：示意圖（圖1、圖2、圖3）每個圖（1分）．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵是先利用常見圖形得到合適的計算方法和思路，然后根據(jù)類比方法利用覆蓋的最大距離得到相類似的解．