【題目】（問(wèn)題情境）定義：如圖1，點(diǎn)E在四邊形ABCD的邊CD上，若AE、BE將四邊形ABCD分割成三個(gè)相似的三角形，則稱(chēng)點(diǎn)E為該四邊形的相似點(diǎn)．

（1）若相似點(diǎn)在四邊形ABCD的邊CD上， 且AE、BE將四邊形ABCD分割成三個(gè)正三角形，則四邊形ABCD的四邊形之比(按邊長(zhǎng)從小到大排序)為_______．

（2）若相似點(diǎn)在四邊形ABCD的邊CD上，且AE、BE將四邊形ABCD分割成三個(gè)全等的等腰直角三角形，則四邊形ABCD的四邊形之比(按邊長(zhǎng)從小到大排序)為_______．

（3）（探索研究）

如圖2，點(diǎn)E為四邊形ABCD邊上的相似點(diǎn)，且AE、BE將四邊形ABCD分割成三個(gè)全等的三角形，已知∠ABC=90°，AD=AB=BC=2，求邊CD的長(zhǎng)．

（4）（問(wèn)題解決）

如圖3，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E為四邊形ABCD的邊CD上的相似點(diǎn)，且AD=a，AB=b，BC=c(其中a≠c)，此時(shí)邊CD的長(zhǎng)為多少？請(qǐng)用含a、b、c的代數(shù)式直接寫(xiě)出所有可能的結(jié)果．

【答案】（1）四邊長(zhǎng)度的比為1:1：1:2；（2）四邊之比為1:1：：2；（3）CD=；（4）CD=

【解析】

（1）根據(jù)相似點(diǎn)的定義以及分成三個(gè)正三角形得出這三個(gè)三角形全等，從而得出邊之比；

（2）根據(jù)等腰直角三角形邊之間的關(guān)系為設(shè)參數(shù)即可得出答案；

（3）根據(jù)全等以及尋找出特殊角度的三角形再進(jìn)行求解；

（4）根據(jù)和相似點(diǎn)的定義判斷出四邊形是平行四邊形，從而得出，再根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例計(jì)算，從而得出答案．

（1）∵均為正三角形，且三個(gè)三角形相似

∴這三個(gè)三角形全等

設(shè)

∴則

∴四邊長(zhǎng)度的比為

（2）∵三個(gè)三角形為等腰直角三角形

∴設(shè)，則

∴四邊之比為

（3）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE如圖：

∵

∴

∴在直角三角形中：

在直角三角形中,,

∴=++=

（4）∵

根據(jù)相似點(diǎn)的含義可知，

∴,,

∵

∴四邊形是平行四邊形

∴

∴

∴

∴

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知：如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線(xiàn)與相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交邊于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，且．

求證：（1）四邊形是矩形；

（2）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，∠A=∠B，AE=BE，點(diǎn)D在AC邊上，∠1=∠2，AE和BD相交于點(diǎn)O．

（1）求證：△AEC≌△BED；

（2）若∠1=42°，求∠BDE的度數(shù)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，拋物線(xiàn)交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)AC于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

①當(dāng)是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則平面內(nèi)存在直線(xiàn)l，使點(diǎn)M，B，到該直線(xiàn)的距離都相等．當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)的拋物線(xiàn)上，且與點(diǎn)B不重合時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出直線(xiàn)的解析式．（k，b可用含m的式子表示）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為弘揚(yáng)祖國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，加強(qiáng)優(yōu)秀文化熏陶，提高學(xué)生的文化素養(yǎng)和道德素質(zhì)，我縣某校舉行了“經(jīng)典啟迪人生，國(guó)學(xué)伴我成長(zhǎng)”主題活動(dòng)，學(xué)校統(tǒng)一印制獨(dú)具本校特色的國(guó)學(xué)教育校本教材，通過(guò)課堂教學(xué)和課外活動(dòng)相結(jié)合的方式進(jìn)行國(guó)學(xué)教育，為了解學(xué)生學(xué)習(xí)成果，現(xiàn)隨機(jī)抽取了部分同學(xué)的國(guó)學(xué)成績(jī)(x為整數(shù)，總分100分)，繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．調(diào)查結(jié)果扇形統(tǒng)計(jì)圖．

組別

成績(jī)分組(單位：分)

頻數(shù)

頻率

A

50≤x<60

40

0．10

B

60≤x<70

60

c

C

70≤x<80

a

0．20

D

80≤x<90

160

0．40

E

90≤x<100

60

0．15

合計(jì)

b

1

（1）根據(jù)以上信息解答問(wèn)題：(1)統(tǒng)計(jì)表中a=________，b= ________，c=_______．

（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，m的值為________，“D”所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)是_______度；

（3）若參加國(guó)學(xué)教育的同學(xué)共有2000人，請(qǐng)你估計(jì)成績(jī)?cè)?/span>90分及以上的學(xué)生大約有多少人？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，△ABC和△ADE分別是以BC，DE為底邊且頂角相等的等腰三角形，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上，AF平分DE交BC于點(diǎn)F，連接BE，EF．

（1）CD與BE相等？若相等，請(qǐng)證明；若不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若∠BAC=90°，求證：BF2+CD2=FD2．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，拋物線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作軸交于點(diǎn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）.

（1）求拋物線(xiàn)的解析式.

（2）當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).

（3）設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)時(shí)，求的值.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+x+c與x軸交于點(diǎn)A（6，0），C（﹣2，0），與y軸交于點(diǎn)B，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸交AB于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）P是拋物線(xiàn)上對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)一點(diǎn)，連接EP，若tan∠BEP＝，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）M是直線(xiàn)CD上一點(diǎn)，N是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E 是AB 上的一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE，垂直為F．圓O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C ，D ，F，且與AD相交于點(diǎn)G．

(1)求證，△AFG∽△DFC；

(2)若AB=3，BC=5，AE=1，求圓O的半徑．

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