Question

【題目】如圖，拋物線交x軸于A，B兩點，交y軸于點C．直線經過點A，C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線，交直線AC于點M，設點P的橫坐標為m．

①當是直角三角形時，求點P的坐標；

②作點B關于點C的對稱點，則平面內存在直線l，使點M，B，到該直線的距離都相等．當點P在y軸右側的拋物線上，且與點B不重合時，請直接寫出直線的解析式．（k，b可用含m的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）（2）①或，②直線l的解析式為,或.

【解析】

（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點A，C的坐標，根據點A，C的坐標，利用待定系數法可求出二次函數解析式；
（2）①由PM⊥x軸可得出∠PMC≠90°，分∠MPC=90°及∠PCM=90°兩種情況考慮：（i）當∠MPC=90°時，PC∥x軸，利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點P的坐標；（ii）當∠PCM=90°時，設PC與x軸交于點D，易證△AOC∽△COD，利用相似三角形的性質可求出點D的坐標，根據點C，D的坐標，利用待定系數法可求出直線PC的解析式，聯立直線PC和拋物線的解析式成方程組，通過解方程組可求出點P的坐標．綜上，此問得解；
②利用二次函數圖象上點的坐標特征及一次函數圖象上點的坐標特征可得出點B，M的坐標，結合點C的坐標可得出點B′的坐標，根據點M，B，B′的坐標，利用待定系數法可分別求出直線BM，B′M和BB′的解析式，利用平行線的性質可求出直線l的解析式．

解：（1）當時，，

點C的坐標為；

當時，，

解得：，

點A的坐標為．

將，代入，得：

，解得：，

拋物線的解析式為．

（2）①軸，

，

分兩種情況考慮，如圖1所示．

（i）當時，軸，

點P的縱坐標為﹣2．

當時，，

解得：，，

點P的坐標為；

（ii）當時，設PC與x軸交于點D．

，，

．

又，

，

，即，

，

點D的坐標為．

設直線PC的解析式為，

將，代入，得：

，解得：，

直線PC的解析式為．

聯立直線PC和拋物線的解析式成方程組，得：，

解得：，，

點P的坐標為．

綜上所述：當是直角三角形時，點P的坐標為或．

②當y=0時，,

解得：x1=-4，x2=2，
∴點B的坐標為（2，0）．
∵點C的坐標為（0，-2），點B，B′關于點C對稱，
∴點B′的坐標為（-2，-4）．
∵點P的橫坐標為m（m＞0且m≠2），
∴點M的坐標為,

利用待定系數法可求出：直線BM的解析式為，直線B′M的解析式為，直線BB′的解析式為y=x-2．
分三種情況考慮，如圖2所示：

當直線l∥BM且過點C時，直線l的解析式為,

當直線l∥B′M且過點C時，直線l的解析式為,

當直線l∥BB′且過線段CM的中點時，直線l的解析式為,

綜上所述：直線l的解析式為,或.