Question

（2007•南充）如圖，點(diǎn)M（4，0），以點(diǎn)M為圓心、2為半徑的圓與x軸交于點(diǎn)A、B．已知拋物線y=x²+bx+c過(guò)點(diǎn)A和B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并畫出拋物線的大致圖象；
（2）點(diǎn)Q（8，m）在拋物線y=x²+bx+c上，點(diǎn)P為此拋物線對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PQ+PB的最小值；
（3）CE是過(guò)點(diǎn)C的⊙M的切線，點(diǎn)E是切點(diǎn)，求OE所在直線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意可知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（2，0），（6，0），代入函數(shù)解析式即可求得拋物線的解析式，即可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)圖象可得PQ+PB的最小值即是AQ的長(zhǎng)，所以拋物線對(duì)稱軸l是x=4．所以Q（8，m）拋物線上，∴m=2．過(guò)點(diǎn)Q作QK⊥x軸于點(diǎn)K，則K（8，0），QK=2，AK=6，求的AQ的值即可；
（3）此題首先要證得OE∥CM，利用待定系數(shù)法求得CM的解析式，即可求得OE的解析式．
解答：解：（1）由已知，得A（2，0），B（6，0），
∵拋物線y=x²+bx+c過(guò)點(diǎn)A和B，
則
解得
則拋物線的解析式為
y=x²-x+2．
故C（0，2）．（2分）
（說(shuō)明：拋物線的大致圖象要過(guò)點(diǎn)A、B、C，其開口方向、頂點(diǎn)和對(duì)稱軸相對(duì)準(zhǔn)確）（3分）

（2）如圖①，拋物線對(duì)稱軸l是x=4．
∵Q（8，m）在拋物線上，
∴m=2．過(guò)點(diǎn)Q作QK⊥x軸于點(diǎn)K，則K（8，0），QK=2，AK=6，
∴AQ=．（5分）
又∵B（6，0）與A（2，0）關(guān)于對(duì)稱軸l對(duì)稱，
∴PQ+PB的最小值=AQ=．

（3）如圖②，連接EM和CM．
由已知，得EM=OC=2．
∵CE是⊙M的切線，
∴∠DEM=90°，
則∠DEM=∠DOC．
又∵∠ODC=∠EDM．
故△DEM≌△DOC．
∴OD=DE，CD=MD．
又在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC．
則OE∥CM．（7分）
設(shè)CM所在直線的解析式為y=kx+b，CM過(guò)點(diǎn)C（0，2），M（4，0），
∴
解得
直線CM的解析式為．
又∵直線OE過(guò)原點(diǎn)O，且OE∥CM，
∴OE的解析式為y=x．（8分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)以及圓的綜合知識(shí)，要注意待定系數(shù)法求解析式，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．