Question

已知?ABCD中，AB=，AD=2，∠D=45°，?EBGF是由?ABCD旋轉(zhuǎn)所得，且邊EF剛好過點(diǎn)C，連接AE，CG
（1）求的值；
（2）求四邊形AECD的面積．

Answer 1

解：（1）∵?EBGF是由?ABCD旋轉(zhuǎn)所得，且邊EF剛好過點(diǎn)C，
∴∠ABE=∠CBG，AB=EB，BC=BG，
∴，
∴△ABE∽△CBG，
∴=，
∵?ABCD中，AB=，AD=2，
∴BC=AD=2，
∴=；

（2）過點(diǎn)C作CH⊥AD于H，
∵∠D=45°，CD=AB=，
∴CH=CD•sin60°=，
∴S_?BEFG=S_?ABCD=AD•CH=2×=，
∴S_△BCG=S_?ABCD=，
∵△ABE∽△CBG，
∴△ABE與△BCG的面積比為3：4，
∴S_△ABE=×=，
過點(diǎn)C作△BEC的高CK，設(shè)CK=h，
∵BE∥GF，∠F=∠D=45°，
∴∠KEC=∠F=45°，
∴EK=EC=h，
∴BK=BE+EK=+h，
在Rt△BKC中，BK²+CK²=BC²，
即（+h）²+h²=2²，
解得：h=，
∴S_△BCE=BE•CK=××=，
∴S_{四邊形AECD}==．
分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，易證得△ABE∽△CBG，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得的值；
（2）首先過點(diǎn)C作CH⊥AD于H，求出平行四邊形ABCD的高和面積而△BCG的面積是平行四邊形BFGE面積的一半，可得△ABE的面積，再過點(diǎn)C作△BEC的高CK，設(shè)CK=h，由勾股定理可得方程：（+h）²+h²=2²，解方程求得h的值，繼而求得△BCE的面積，則可求得四邊形AECD的面積．
點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．