Question

已知：如圖△ABC的三邊長分別為a、b、c，它的三條中位線組成一個(gè)新的三角形，這個(gè)新三角形的三條中位線又組成了一個(gè)小三角形．
（1）求這個(gè)小三角形的周長．
（2）照上述方法繼續(xù)做下去，到第n次時(shí)，這個(gè)小三角形的周長是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)可以得到這個(gè)小三角形與原來的三角形相似，且相似比為

1

2

，根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比能求出這個(gè)小三角形的周長．（2）按照這種方法作出的三角形與原來的三角形相似，相似比為

1

2

，所以第n個(gè)小三角形的周長是第一個(gè)三角形周長的

1

2n

．

解答：解：（1）因?yàn)檫@個(gè)新三角形的三邊分別與原三角形的三邊平行，所以新三角形與原三角形相似，根據(jù)中位線的性質(zhì)可知，兩三角形的相似比是

1

2

，因此，這個(gè)小三角形的周長為

1

4

（a+b+c）；

（2）由于第一個(gè)三角形的周長為

1

2

（a+b+c），第二個(gè)小三角形的周長為

1

4

（a+b+c）=

1

22

（a+b+c）．
依此類推可得第n個(gè)小三角形的周長為

1

2n

（a+b+c）．

點(diǎn)評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，（1）根據(jù)三角形的中位線得到新三角形與原來的三角形相似，并且相似比為

1

2

，利用相似三角形周長的比等于相似比，求出第一個(gè)新三角形的周長．（2）根據(jù)第二個(gè)三角形的周長進(jìn)行分析，尋找規(guī)律，得到第n個(gè)三角形的周長．