Question

（2012•江寧區(qū)二模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-1，0）、B（0，2），將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至AC．
（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（-3，1）

；
（2）若二次函數(shù)y=

1

2

x²-ax-2的圖象經(jīng)過點(diǎn)C．
①求二次函數(shù)y=

1

2

x²-ax-2的關(guān)系式；
②當(dāng)-1≤x≤4時(shí)，直接寫出函數(shù)值y對(duì)應(yīng)的取值范圍；
③在此二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)C除外），使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，然后利用“角角邊”證明△ABO和△CAD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=BO，CD=AO，然后求出OD，再根據(jù)點(diǎn)C在第二象限，寫出點(diǎn)C坐標(biāo)即可；
（2）①把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出a的值即可得解；
②把二次函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式形式，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性求出最大值與最小值，即可得到函數(shù)值y的取值范圍；
③分點(diǎn)A是直角頂點(diǎn)時(shí)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，點(diǎn)B是直角頂點(diǎn)時(shí)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后驗(yàn)證是否在二次函數(shù)圖象上即可．

解答：解：（1）過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，
∵旋轉(zhuǎn)角為90°，
∴∠BAO+∠CAD=180°-90°=90°，
又∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CAD=∠ABO，
在△ABO和△CAD中，
∵

∠CAD=∠ABO ∠AOB=∠CDA=90° AC=AB

，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴AD=BO=2，CD=AO=1，
∴OD=AO+AD=1+2=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，1）；

（2）①∵二次函數(shù)y=

1

2

x²-ax-2的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（-3，1），
∴

1

2

×（-3）²-（-3）a-2=1，
解得a=-

1

2

，
故二次函數(shù)的關(guān)系式為y=

1

2

x²+

1

2

x-2；

②∵y=

1

2

x²+

1

2

x-2=

1

2

（x+

1

2

）²-

17

8

，
∴當(dāng)-1≤x≤4時(shí)，x=-

1

2

時(shí)取得最小值y=-

17

8

，
x=4時(shí)，取得最大值y=

1

2

（4+

1

2

）²-

17

8

=8，
所以，函數(shù)值y的取值范圍為：-

17

8

≤y≤8；

③（i） 當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)P₁，使AP₁=AC=AB，則△ABP₁是以AB為直角邊的等腰直角三角形，過點(diǎn)P₁作P₁E⊥x軸，
∵AP₁=AC，∠EAP₁=∠DAC，∠P₁EA=∠CDA=90°，
∴△EP₁A≌△DCA，
∴AE=AD=2，EP₁=CD=1，
∴可求得P₁的坐標(biāo)為（1，-1），
經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P₁在二次函數(shù)的圖象上；
（ii） 當(dāng)B點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)B作直線L⊥BA，在直線L上分別取BP₂=BP₃=AB，得到以AB為直角邊的等腰直角△ABP₂和等腰直角△ABP₃，
作P₂F⊥y軸，同理可證△BP₂F≌△ABO，
則P₂F=BO=2，BF=OA=1，
可得點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（2，1），
經(jīng)檢驗(yàn)P₂點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，
同理可得點(diǎn)P₃的坐標(biāo)為（-2，3），
經(jīng)檢驗(yàn)P₃點(diǎn)不在二次函數(shù)的圖象上．
綜上所述：二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P₁（1，-1），P₂（2，1）兩點(diǎn)，使得△ABP₁和△ABP₂是以AB為直角邊的等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)的增減性以及等腰直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，綜合性較強(qiáng)，但難度不是很大，要注意分情況討論．