【題目】如圖,在正方形ABCD中,△BPC是等邊三角形,BP,CP的延長線分別交AD于點(diǎn)E,F(xiàn),連結(jié)BD,DP,BD與CF相交于點(diǎn)H.給出下列結(jié)論: ①△ABE≌△DCF;②△DPH是等腰三角形;③PF= AB;④ =
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

A.1
B.2
C.3
D.4

【答案】D
【解析】解:∵△BPC是等邊三角形, ∴BP=PC=BC,∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°,
在正方形ABCD中,
∵AB=BC=CD,∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°,
在△ABE與△CDF中,
,
∴△ABE≌△DCF,故①正確;
∵PC=DC,∠PCD=30°,
∴∠CPD=75°,
∵∠DBC=45°,∠BCF=60°,
∴∠DHP=∠BHC=75°,
∴PD=DH,
∴△DPH是等腰三角形,故②正確;
∵△BPC是等邊三角形,
∴可得∠FPE=∠PFE=60°,
∴△FEP是等邊三角形,
∴△FPE∽△CPB,
= ,
設(shè)PF=x,PC=y,則DC=y,
∵∠FCD=30°,
∴y= (x+y),
整理得:(1﹣ )y= x,
解得: =
則PF= AB,故③正確;
如圖,過P作PM⊥CD,PN⊥BC,

設(shè)正方形ABCD的邊長是4,△BPC為正三角形,
∴∠PBC=∠PCB=60°,PB=PC=BC=CD=4,
∴∠PCD=30°
∴PN=PBsin60°=4× =2 ,PM=PCsin30°=2,
SBPD=S四邊形PBCD﹣SBCD=SPBC+SPDC﹣SBCD
= ×4×2 + ×2×4﹣ ×4×4
=4 +4﹣8=4 ﹣4,
= ,故④正確;
故正確的有4個(gè),
故選:D.

練習(xí)冊系列答案
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(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí),AE與BF的位置關(guān)系,QE與QF的數(shù)量關(guān)系.
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí),試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系,并給予證明;
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段BA(或AB)的延長線上時(shí),此時(shí)(2)中的結(jié)論是否成立?請畫出圖形并給予證明.

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B.矩形
C.菱形
D.正方形

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A.20%
B.40%
C.﹣220%
D.30%

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同步練習(xí)冊答案