Question

27、如圖，△ABC和△ADC都是邊長(zhǎng)相等的等邊三角形，點(diǎn)E、F同時(shí)分別從點(diǎn)B、A出發(fā)，各自沿BA、AD方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A、D停止，運(yùn)動(dòng)的速度相同，連接EC、FC．
（1）在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中∠ECF的大小是否隨之變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以點(diǎn)A、E、C、F為頂點(diǎn)的四邊形的面積變化了嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）連接EF，在圖中找出和∠ACE相等的所有角，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)SAS證明△BCE≌△ACF，得到∠ECB=∠FCA，從而證明結(jié)論；
（2）結(jié)合（1）中證明的全等三角形，即可發(fā)現(xiàn)以點(diǎn)A、E、C、F為頂點(diǎn)的四邊形的面積即為△ABC的面積；
（3）根據(jù)等邊三角形的判定可以證明△ECF是等邊三角形，再進(jìn)一步根據(jù)平角定義，得到∠AFE+∠DFC=120°，則∠AFE=∠FCD，從而求解．

解答：解：（1）∠ECF不變?yōu)?0°．（1分）
理由如下：
∵△ABC和△ADC都是邊長(zhǎng)相等的等邊三角形，
∴BC=AC=CD，∠B=∠D=60°，
又BE=DF，
∴△BCE≌△ACF，
∴∠ECB=∠FCA．（4分）
所以∠ECF=∠FCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE=∠BCA=60°；（6分）

（2）不變化．理由如下：
∵四邊形AECF的面積=△AFC的面積+△AEC的面積，（7分）
又△BCE≌△ACF，
∴△AEC的面積+△BEC的面積=△ABC的面積；（8分）


（3）證明：∵∠FCD+∠DFC=120°，∠AFE+∠DFC=120°，
∴∠AFE=∠FCD，
所以∠ACE=∠FCD=∠AFE．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等．注意：在證明兩個(gè)角相等的時(shí)候，要善于發(fā)現(xiàn)它們和一個(gè)公共角的和相等．