Question

如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿對角線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于點G；E、F分別是C′D和BD上的點，線段EF交AD于點H，把△FDE沿EF折疊，使點D落在D′處，點D′恰好與點A重合．

（1）求證：△ABG≌△C′DG；

（2）求tan∠ABG的值；

（3）求EF的長．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；解直角三角形。

解答：（1）證明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，

∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，

∴∠ABG=∠ADE，

在：△ABG≌△C′DG中，

∵，

∴△ABG≌△C′DG；

（2）解：∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，

∴GD=GB，

∴AG+GB=AD，設(shè)AG=x，則GB=8﹣x，

在Rt△ABG中，

∵AB²+AG²=BG²，即6²+x²=（8﹣x）²，解得x=，

∴tan∠ABG===；

（3）解：∵△AEF是△DEF翻折而成，

∴EF垂直平分AD，

∴HD=AD=4，

∴tan∠ABG=tan∠ADE=，

∴EH=HD×=4×=，

∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，

∴HF是△ABD的中位線，

∴HF=AB=×6=3，

∴EF=EH+HF=+3=．