【題目】如圖,矩形ABCD中,ACB=30°,將一塊直角三角板的直角頂點P放在兩對角線AC,BD的交點處,以點P為旋轉中心轉動三角板,并保證三角板的兩直角邊分別于邊AB,BC所在的直線相交,交點分別為E,F(xiàn).

(1)當PEAB,PFBC時,如圖1,則的值為   ;

(2)現(xiàn)將三角板繞點P逆時針旋轉α(0°<α<60°)角,如圖2,求的值;

(3)在(2)的基礎上繼續(xù)旋轉,當60°<α<90°,且使AP:PC=1:2時,如圖3,的值是否變化?證明你的結論.

【答案】解:(1)。

(2)如答圖1,過點P作PMAB于點M,PNBC于點N,則PMPN。

PMPN,PEPF,∴∠EPM=FPN。

∵∠PME=PNF=90°,∴△PME∽△PNF。

。

由(1)知,,

。

(3)變化。證明如下:

如答圖2,過點P作PMAB于點M,PNBC于點N,則PMPN,PMBC,PNAB

PMBC,PNAB,

∴∠APM=PCN,PAM=CPN。

∴△APM∽△PCN。

,得CN=2PM。

在RtPCN中,

。

PMPN,PEPF,∴∠EPM=FPN。

∵∠PME=PNF=90°,∴△PME∽△PNF。

的值發(fā)生變化

【解析】

試題(1)證明APE≌△PCF,得PE=CF;在RtPCF中,解直角三角形求得的值

矩形ABCD,ABBC,PA=PC。

PEAB,BCAB,PEBC。∴∠APE=PCF。

PFBC,ABBC,PFAB。∴∠PAE=CPF

APE與PCF中,PAE=CPF,PA=PC,APE=PCF,

∴△APE≌△PCF(ASA)。PE=CF

在RtPCF中,,。

(2)如答圖1所示,作輔助線,構造直角三角形,證明PME∽△PNF,并利用(1)的結論,求得的值;

(3)如答圖2所示,作輔助線,構造直角三角形,首先證明APM∽△PCN,求得;然后證明PME∽△PNF,從而由求得的值。與(1)(2)問相比較,的值發(fā)生了變化 

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