Question

如圖1，在四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，它的兩邊分別交AD、DC于點E、F，且AE≠CF．

（1）求證：EF=AE+CF．
（2）如圖2，當(dāng)∠MBN的兩邊分別交AD、DC的延長線于點E、F，其余條件均不變時，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請證明．如果不成立，線段AE、CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）證明：延長FC到H，使CH=AE，連接BH，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A=∠BCH=90°，
∵在△BCH和△BAE中
，
∴△BCH≌△BAE（SAS），
∴BH=BE，∠CBH=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE+∠CBF=120°-60°=60°，
∴∠HBC+∠CBF=60°，
∴∠HBF=60°=∠MBN，
在△HBF和△EBF中
∵，
∴△HBF≌△EBF（SAS），
∴HF=EF，
∵HF=HC+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．

（2）（1）中的結(jié)論不成立，線段AE、CF，EF的數(shù)量關(guān)系是AE=EF+CF，
證明：在AE上截取AQ=CF，連接BQ，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A=∠BCF=90°，
在△BCF和△BAQ中
，
∴△BCF≌△BAQ（SAS），
∴BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，
∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE，
∴∠CBE+∠ABQ=60°，
∵∠ABC=120°，
∴∠QBE=120°-60°=60°=∠MBN，
在△FBE和△QBE中
，
∴△FBE≌△QBE（SAS），
∴EF=QE，
∵AE=QE+AQ=EF+CF，
∴AE=EF+CF，
即（1）中的結(jié)論不成立，線段AE、CF，EF的數(shù)量關(guān)系是AE=EF+CF．
分析：（1）延長FC到H，使CH=AE，連接BH，根據(jù)SAS證△BCH≌△BAE，推出BH=BE，∠CBH=∠ABE，根據(jù)△HBF≌△EBF，推出HF=EF即可；
（2）在AE上截取AQ=CF，連接BQ，根據(jù)SAS證△BCF≌△BAQ，推出BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，證△FBE≌△QBE，推出EF=QE即可．
點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目，證明過程類似．