Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)．一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，與正比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．

（1）求一次函數(shù)的解析式；

（2）在x軸上尋找點(diǎn)P，使得為等腰三角形，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在直線AB上尋找點(diǎn)Q，使得，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）一次函數(shù)的解析式為；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）可先求得C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）可設(shè)P（x，0），則可表示出CP、OP和OC，分CP=OP、CP=OC和OP=OC三種情況，分別得到關(guān)于x的方程，可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）可設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可表示出CQ的長，由三角形的面積可得到關(guān)于Q點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

(1)∵正比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，

∴，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．

設(shè)直線AB的解析式為，

把A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得，解得，

∴一次函數(shù)的解析式為．

(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，C點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴，，．

∵為等腰三角形，

∴有，和三種情況：

①當(dāng)時，即，

解得：，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

②當(dāng)時，即，

解得：(舍去)或，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

③當(dāng)時，即，解得或，

此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．

(3)∵點(diǎn)Q在直線AB上，

∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為，

∴．

∵在中，令可得，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴，

∴，且．

如圖，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，

∴，即，

解得：，

．

,

∴，解得或．

當(dāng)時， ，

當(dāng)時，．

故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．