Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過正方形ABCD的頂點A和B，點C、D的坐標分別是（0，﹣1）和（4，﹣3），邊AD，BC分別交x軸于點E、F．

（1）填空：正方形的邊長為　 　；

（2）求反比例函數(shù)y＝的解析式；

（3）若點M是直線BC上一動點，作MN∥x軸，交反比例函數(shù)y＝的圖象于點N，過點M，N分別向x軸作垂線，垂足分別為P、Q，得到矩形MPQN，設(shè)點M的橫坐標為a．

①填空：點N的坐標為　 　；（用含a的代數(shù)式表示）

②填空：若矩形MPQN的面積為6，則點M的橫坐標為　 　．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）（3）0，或

【解析】

(1)由點C，D的坐標，利用兩點間的距離公式可求出CD的長，此問得解；

(2)過點B作BB′⊥y軸于點B′，過點D作DD′⊥y軸于點D′，則△B′BC≌△D′CD(AAS)，利用全等三角形的性質(zhì)可求出BB′，CB′，OB′的長度，進而可得出點B的坐標，由點B的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)解析式；

(3)①由點B，C的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式，由點M的橫坐標為a，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，可得出點M，N的坐標；

②由點M，N的坐標，可得出MN，MP的長，由矩形的面積公式結(jié)合矩形MPQN的面積為6，可得出關(guān)于a的方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論．

(1)∵點C的坐標為(0，﹣1)，點D的坐標為(4，﹣3)，

∴CD＝，

故答案為：2；

(2)過點B作BB′⊥y軸于點B′，過點D作DD′⊥y軸于點D′，如圖1所示，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠BCD＝90°，BC＝CD．

∵∠B′BC+∠B′CB＝90°，∠B′CB+∠D′CD＝90°，

∴∠B′BC＝∠D′CD，

在△B′BC和△D′CD中，

，

∴△B′BC≌△D′CD(AAS)，

∴BB′＝CD′＝2，CB′＝DD′＝4，

∴OB′＝CB′﹣OC＝3，

∴點B的坐標為(2，3)，

將B(2，3)代入y＝，得：3＝，

∴k＝6，

∴反比例函數(shù)的解析式為y＝；

(3)①設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n(m≠0)，

將B(2，3)，C(0，﹣1)代入y＝mx+n，得：

，解得：，

∴直線BC的解析式為y＝2x﹣1，

∵點M的橫坐標為a，

∴點M的坐標為(a，2a﹣1)，

∵MN∥x軸，且點N反比例函數(shù)y＝的圖象上，

∴點N的坐標為(，2a﹣1)，

故答案為：(，2a﹣1)；

②∵點M的坐標為(a，2a﹣1)，點N的坐標為(，2a﹣1)，

∴MN＝|a﹣|，MP＝|2a﹣1|，

∵矩形MPQN的面積為6，

∴|a﹣||2a﹣1|＝6，即2a2﹣a＝0或2a2﹣a﹣12＝0，

解得：a1＝0，a2＝，a3＝，a4＝，

經(jīng)檢驗，a1＝0，a3＝，a4＝是原方程的解，且符合題意，a2＝是增根，舍去，

故答案為：0，或．