Question

（2012•靜�？h二模）在1×3的矩形內(nèi)不重疊地放兩個與大矩形相似的小矩形，且每個小矩形的每條邊與大矩形的一條邊平行．
（Ⅰ）如圖①放置時，兩個小矩形周長和（兩個小矩形重疊的邊要重復(fù)計算）為

16

3

．
（Ⅱ）怎樣放置才能使兩個小矩形周長和最大？在圖②中畫出圖形，其最大值為

88

9

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊成比例列式求出小矩形的寬，然后根據(jù)周長公式進行計算即可得解；
（Ⅱ）根據(jù)放置方式的不同，分①兩個小矩形都“豎放”時，與（Ⅰ）相同，②兩個小矩形都“橫放”，再分都橫向放置，一上一下放置兩種情況，先表示出一個矩形的長與寬，再根據(jù)大矩形是1×3的規(guī)格表示出另一個矩形的長與寬，然后根據(jù)矩形的周長公式列式整理，即可得解；③兩個小矩形一個“橫放”，一個“豎放”，先表示出一個矩形的長與寬，再表示出另一個矩形的長與寬，然后根據(jù)矩形的周長公式列式整理，然后根據(jù)大矩形是1×3的規(guī)格求出a的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性解答．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)小矩形的寬為x，
∵小矩形與大矩形相似，
∴

x

1

=

1

3

，
解得x=

1

3

，
所以，兩個小矩形周長和=2×2（1+

1

3

）=

16

3

；

（Ⅱ）

88

9

兩個矩形的放置方式情況有如下幾種：
①兩個小矩形都“豎放”，在這種放法下，周長和最大的兩個小矩形邊長分別為1和

1

3

，周長和的最大值為

16

3

；

②兩個小矩形都“橫放”，
  
這時兩個小矩形的周長和的最大值為：
2（a+3a）+2[1-a+3（1-a）]=8a+2（1-a+3-3a）=8a+8-8a=8；

③兩個小矩形一個“橫放”，一個“豎放”，這時兩個小矩形的周長和為：
2（a+3a）+2（3-a+

3-a

3

）=8a+6-2a+2-

2

3

a=8+

16a

3

，

因為0＜3a≤1，即0＜a≤

1

3

，
故當(dāng)a=

1

3

時，此時兩個小矩形的周長和最大為8+

16× 1 3

3

=

88

9

．
故答案為：

16

3

；

88

9

．

點評：本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，主要利用了相似多邊形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，（2）要根據(jù)放置方式的不同進行討論求解．