Question

設(shè)n是正整數(shù)，且是15的倍數(shù)，n=15m．已知m是完全平方數(shù)，120×n是完全立方數(shù)，36×n是完全5次方數(shù)，則n的最小值是

2¹⁸×3²³×5⁵

．

Answer 1

分析：由120×15=2³×3²×5²，n=15m，120×n是完全立方數(shù)，可設(shè)m=2^3a×3^3b+1×5^3c+1[（a=0，1，2…），（b，c=1，2…）]，又由m是完全平方數(shù)，可設(shè)a=2d，b=（2e-1），b=（2f-1），即可表示出m，又由36×n是完全5次方數(shù)，即可設(shè)d=5g+3，e=5h-1，f=5k-4，求得36×n=2^30g+20×3^30h-5×5^30k-25[（g=0，1，2…），（h，k=1，2…）]則可求得答案．

解答：解：∵120×15=2³×3²×5²，
又∵n=15m，120×n是完全立方數(shù)，
即120×15m是完全立方數(shù)，
∴設(shè)m=2^3a×3^3b+1×5^3c+1[（a=0，1，2…），（b，c=1，2…）]，
∵m是完全平方數(shù)，
∴設(shè)a=2d，b=（2e-1），b=（2f-1），
∴m=2^6d×3^6e-2×5^6f-2[（d=0，1，2…），（e，f=1，2…）]，
∴36×n=36×15m=2²×3³×5¹m=2^6d+2×3^6e+1×5^6f-1[（d=0，1，2…），（e，f=1，2…）]，
∵36×n是完全5次方數(shù)，
∴設(shè)d=5g+3，e=5h-1，f=5k-4，
∴36×n=2^30g+20×3^30h-5×5^30k-25[（g=0，1，2…），（h，k=1，2…）]
∴取最小值：g=0，h=k=1可得：36×n=2²⁰×3²⁵×5⁵，
∴n=2¹⁸×3²³×5⁵．

點評：此題考查了完全平方數(shù)的應(yīng)用．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)m=2^3a×3^3b+1×5^3c+1[（a=0，1，2…），（b，c=1，2…）]，然后利用同樣的方法，表示出36×n=2^30g+20×3^30h-5×5^30k-25[（g=0，1，2…），（h，k=1，2…）]．