Question

若a＜b＜c，求證方程：

1

x-a

+

1

x-b

+

1

x-c

=0，一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且一個(gè)在a與b之間，一個(gè)在b與c之間．

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系,根的判別式,解分式方程

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：（1）將分式方程化為整式方程（一元二次方程），利用根的判別式解答；
（2）將方程問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題．根據(jù)y值的大小，判斷出與x軸交點(diǎn)的范圍．

解答：解：

1

x-a

+

1

x-b

+

1

x-c

=0，
兩邊同時(shí)乘以（x-a）（x-b）（x-c）得，
（x-b）（x-c）+（x-a）（x-c）+（x-a）（x-b）=0，
整理得，3x²-（2a+2b+2c）x+bc+ac+ab=0，
△=（2a+2b+2c）²-4×3（bc+ac+ab）
=2（2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc）
=2[（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²]
∵a＜b＜c，
∴a-c≠0，a-b≠0，b-c≠0，
∴△=2[（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²]＞0．
∴方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
當(dāng)x=a時(shí)，y_a=（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）+（x-a）（x-b）=（a-b）（a-c），
而a＜b＜c，
∴a-b＜0，a-c＜0，
∴（a-b）（a-c）＞0，
當(dāng)x=b時(shí)，y_b=（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）+（x-a）（x-b）=（b-c）（b-a），
而a＜b＜c，
∴b-a＞0，b-c＜0，
∴（b-c）（b-a）＜0，
當(dāng)x=c時(shí)，y_c=（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）+（x-a）（x-b）=（c-a）（c-b），
而a＜b＜c，
∴c-a＞0，c-b＞0，
∴（c-a）（c-b）＞0，
∴y_a＞0，y_b＜0，y_c＞0，
∴二次方程（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）+（x-a）（x-b）=0的一個(gè)根在a，b之間，另一個(gè)根在b，c之間．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再利用整式方程的性質(zhì)解答是常用的方法；而通過數(shù)形結(jié)合將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，可提供簡(jiǎn)潔直觀的解答方法．