【題目】在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.
(1)如圖1,若A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0,4),B(﹣2,0),求C點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)如圖2,作∠ABC的角平分線BD,交AC于點(diǎn)D,過C點(diǎn)作CE⊥BD于點(diǎn)E,求證:CE= BD;
(3)如圖3,點(diǎn)P是射線BA上A點(diǎn)右邊一動(dòng)點(diǎn),以CP為斜邊作等腰直角△CPF,其中∠F=90°,點(diǎn)Q為∠FPC與∠PFC的角平分線的交點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q是否恒在射線BD上?若在,請(qǐng)證明;若不在,請(qǐng)說明理由.
【答案】
(1)
解:如圖1中,作CM⊥OA垂足為M,
∵∠AOB=∠BAC=90°,
∴∠BAO+∠CAM=90°,∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠ABO=∠CAM,
在△ABO和△CAM中,
,
∴△ABO≌△CAM,
∴MC=AO=4,AM=BO=2,MO=AO﹣AM=2,
∴點(diǎn)C坐標(biāo)(4,2)
(2)
證明:如圖2,延長(zhǎng)CE,BA相交于點(diǎn)F,
∵∠EBF+∠F=90°,∠ACF+∠F=90°,
∴∠EBF=∠ACF,
在△ABD和△ACF中 ,
∴△ABD≌△ACF(ASA),
∴BD=CF,
在△BCE和△BFE中, ,
∴△BCE≌△BFE(ASA),
∴CE=EF,
∴CE= BD
(3)
解:結(jié)論:點(diǎn)Q恒在射線BD上,
理由如下:
如圖3中作QE⊥PF,QG⊥FC,QH⊥PC,QM⊥BP,QN⊥BC,垂足分別為E、G、H、M、N.
在四邊形QMBN中,∵∠QMB=∠QNB=90°,
∴∠MQN=180°﹣∠ABC=135°,
同理可證:∠HQG=135°,
∴∠MQN=∠HQG,
∴∠MQH=∠GQN,
∵PQ平分∠FPC,QF平分∠PFC,QE⊥PF,QH⊥PC,QG⊥FC,
∴QE=QH=QG,∠QPH= ∠CPF=22.5°,
∵∠PMQ=∠PHQ=90°,
∴M、H、Q、P四點(diǎn)共圓,
∴∠HMP=∠HPQ=22.5°,同理∠QNG=22.5°,
∴∠FMQ=∠QNG,
在△MHQ和△NGQ中,
,
∴△MHQ≌△NGQ,
∴QM=QN,
∵QM⊥BP,QN⊥BC,
∴BQ平分∠ABC,
∴點(diǎn)Q恒在射線BD上
【解析】(1)要求點(diǎn)C坐標(biāo),作CM⊥AO,只要利用全等三角形的性質(zhì)求出OM、CM即可;(2)延長(zhǎng)CE、BA相交于點(diǎn)F.可以證明Rt△ABD≌Rt△ACF,再證明△BCE≌△BFE得到CE=EF,就可以得出結(jié)論;(3)點(diǎn)Q是否恒在射線BD上,只要證明QM=QN,只要證明△M,HQ≌△NGQ即可.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用全等三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】粵海鐵路是我國(guó)第一條橫跨海峽的鐵路通道,設(shè)計(jì)年輸送貨物能力為11 000 000噸,用科學(xué)記數(shù)法應(yīng)記為( )
A.11×106噸
B.1.1×107噸
C.11×107噸
D.1.1×108噸
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O直徑,OD⊥弦BC與點(diǎn)F,且交⊙O于點(diǎn)E,且∠AEC=∠ODB.
(1)判斷直線BD和⊙O的位置關(guān)系,并給出證明;
(2)當(dāng)tan∠AEC=,BC=8時(shí),求OD的長(zhǎng).
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【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,C是⊙O上任一點(diǎn)(不與A,B重合),AB⊥CD于E,BF為⊙O的切線,OF∥AC,連接AF,CF,AF與CD交于點(diǎn)G,與⊙O交于點(diǎn)H,連接CH.
(1)求證:CF是⊙O的切線;
(2)求證:EG=GC;
(3)若cos∠AOC=,⊙O的半徑為9,求CH的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,一輛汽車在直線形的公路AB上由A向B行駛,C,D分別是位于公路AB兩側(cè)的村莊.
(1)該汽車行駛到公路AB上的某一位置C′時(shí)距離村莊C最近,行駛到D′位置時(shí),距離村莊D最近,請(qǐng)?jiān)诠?/span>AB上作出C′,D′的位置(保留作圖痕跡);
(2)當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時(shí),在哪一段路上距離村莊C越來越遠(yuǎn),而離村莊D越來越近?(只敘述結(jié)論,不必說明理由)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC和邊長(zhǎng)為1的等邊△A′B′C′,它們的邊B′C′,BC位于同一條直線l上,開始時(shí),點(diǎn)C′與B重合,△ABC固定不動(dòng),然后把△A′B′C′自左向右沿直線l平移,移出△ABC外(點(diǎn)B′與C重合)停止,設(shè)△A′B′C′平移的距離為x,兩個(gè)三角形重合部分的面積為y,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是( 。
A. B. C. D.
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【題目】已知關(guān)于x的方程x2+bx+a=0有一個(gè)根是﹣a(a≠0),則a﹣b的值為( 。
A.a﹣b=1B.a﹣b=﹣1C.a﹣b=0D.a﹣b=±1
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【題目】已知y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=2x﹣1,則f(﹣2)= .
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