Question

【題目】在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）如圖1，若A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，4），B（﹣2，0），求C點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖2，作∠ABC的角平分線BD，交AC于點(diǎn)D，過C點(diǎn)作CE⊥BD于點(diǎn)E，求證：CE= BD；

（3）如圖3，點(diǎn)P是射線BA上A點(diǎn)右邊一動(dòng)點(diǎn)，以CP為斜邊作等腰直角△CPF，其中∠F=90°，點(diǎn)Q為∠FPC與∠PFC的角平分線的交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q是否恒在射線BD上？若在，請(qǐng)證明；若不在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，作CM⊥OA垂足為M，

∵∠AOB=∠BAC=90°，

∴∠BAO+∠CAM=90°，∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠ABO=∠CAM，

在△ABO和△CAM中，

，

∴△ABO≌△CAM，

∴MC=AO=4，AM=BO=2，MO=AO﹣AM=2，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)（4，2）

（2）

證明：如圖2，延長(zhǎng)CE，BA相交于點(diǎn)F，

∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，

∴∠EBF=∠ACF，

在△ABD和△ACF中 ，

∴△ABD≌△ACF（ASA），

∴BD=CF，

在△BCE和△BFE中， ，

∴△BCE≌△BFE（ASA），

∴CE=EF，

∴CE= BD

（3）

解：結(jié)論：點(diǎn)Q恒在射線BD上，

理由如下：

如圖3中作QE⊥PF，QG⊥FC，QH⊥PC，QM⊥BP，QN⊥BC，垂足分別為E、G、H、M、N．

在四邊形QMBN中，∵∠QMB=∠QNB=90°，

∴∠MQN=180°﹣∠ABC=135°，

同理可證：∠HQG=135°，

∴∠MQN=∠HQG，

∴∠MQH=∠GQN，

∵PQ平分∠FPC，QF平分∠PFC，QE⊥PF，QH⊥PC，QG⊥FC，

∴QE=QH=QG，∠QPH= ∠CPF=22.5°，

∵∠PMQ=∠PHQ=90°，

∴M、H、Q、P四點(diǎn)共圓，

∴∠HMP=∠HPQ=22.5°，同理∠QNG=22.5°，

∴∠FMQ=∠QNG，

在△MHQ和△NGQ中，

，

∴△MHQ≌△NGQ，

∴QM=QN，

∵QM⊥BP，QN⊥BC，

∴BQ平分∠ABC，

∴點(diǎn)Q恒在射線BD上

【解析】（1）要求點(diǎn)C坐標(biāo)，作CM⊥AO，只要利用全等三角形的性質(zhì)求出OM、CM即可；（2）延長(zhǎng)CE、BA相交于點(diǎn)F．可以證明Rt△ABD≌Rt△ACF，再證明△BCE≌△BFE得到CE=EF，就可以得出結(jié)論；（3）點(diǎn)Q是否恒在射線BD上，只要證明QM=QN，只要證明△M，HQ≌△NGQ即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用全等三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．