Question

如圖，直線l與半徑為2的⊙O相切于點A，P是⊙O上的一個動點（不與點A重合），過點P作PB⊥l，垂足為B，連接PA．設PA=x，PB=y，則（x-y）的最大值是

 

．

Answer 1

考點：切線的性質

專題：

分析：作直徑AC，連接CP，得出△APC∽△PBA，利用

AP

AC

=

PB

PA

，得出y=

1

4

x²，所以x-y=x-

1

4

x²=-

1

4

x²+x=-

1

4

（x-2）²+1，當x=2時，x-y有最大值是1．

解答：解：如圖，作直徑AC，連接CP，

∴∠CPA=90°，
∵AB是切線，
∴CA⊥AB，
∵PB⊥l，
∴AC∥PB，
∴∠CAP=∠APB，
∴△APC∽△PBA，
∴

AP

AC

=

PB

PA

，
∵PA=x，PB=y，半徑為2，
∴

x

4

=

y

x

，
∴y=

1

4

x²，
∴x-y=x-

1

4

x²=-

1

4

x²+x=-

1

4

（x-2）²+1，
當x=2時，x-y有最大值是1，
故答案為：1．

點評：此題考查了切線的性質，平行線的性質，相似三角形的判定與性質，以及二次函數的性質，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．