Question

如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），且對(duì)稱軸方程為x=1
（1）求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，在其對(duì)稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（4）若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，以B、C、D、M為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）本題須根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)和對(duì)稱軸方程即可得出拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為．
（2）本題須根據(jù)A、C、B的坐標(biāo)運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出求拋物線的解析式．
（3）本題須分以CD為底邊和以CD為一腰兩種情況分類討論，即可得出△PDC是等腰三角形符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（4）本題須根據(jù)勾股定理，∠BCD=90° 再由拋物線對(duì)稱性可知點(diǎn)坐標(biāo)M為（2，3）．

解答：解：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），對(duì)稱軸方程為x=1，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．

（2）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，3），∴設(shè)拋物線解析式為 y=ax²+bx+3（a不等于0）根據(jù)題意，得 a-b+3=0 9a+3b+3=0 解得 a=-1，b=2，∴拋物線的解析式為 y=-x²+2x+3

（3）存在由y=-x²+2x+3得，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），對(duì)稱軸為x=1
①若以CD為底邊，則PD=PC，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）根據(jù)勾股定理得x²+（3-y）²=（x-1）²+（4-y）² 即y=4-x 又P點(diǎn)（x，y）在拋物線上，
∴4-x=-x²+2x+3，即 x²-3x+1=0 解得 x=

3± 5

2

，

3- 5

2

＜1 （舍去）∴x=

3+ 5

2

∴y=4-x=

5- 5

2

，
即點(diǎn)P坐標(biāo)為 （

3+ 5

2

，

5- 5

2

）
②若以CD為一腰，因?yàn)辄c(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，
由拋物線對(duì)稱性知，點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對(duì)稱，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3）
∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（

3+ 5

2

，

5- 5

2

） 或（2，3）

（4）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根據(jù)勾股定理，得CB=3

2

，CD=

2

，BD=2

5

∴CD²+CB²=BD²=20
∴∠BCD=90°
設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，過C作CM⊥DE，交拋物線于點(diǎn)M，垂足為F，在Rt△DCF中∵CF=DF=1∴∠CDF=45°
由拋物線對(duì)稱性可知，∠CDM=2×45°=90°，點(diǎn)坐標(biāo)M為（2，3）
∴DM∥BC∴四邊形BCDM為直角梯形由∠BCD=90°及題意可知以BC為一底時(shí)，頂點(diǎn)M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況；以CD為一底或以BD為一底，且頂點(diǎn)M在拋物線上的直角梯形均不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，在解題時(shí)要注意二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的應(yīng)用．