如圖,已知拋物線與x軸交于點A(-1,0),E(3,0),與y軸交于點B,且該精英家教網(wǎng)函數(shù)的最大值是4.
(1)拋物線的頂點坐標是(
 
 
);
(2)求該拋物線的解析式和B點的坐標;
(3)設拋物線頂點是D,求四邊形AEDB的面積;
(4)若拋物線y=mx2+nx+p與上圖中的拋物線關于x軸對稱,請直接寫出m的值.
分析:(1)因為拋物線與x軸交于點A(-1,0),E(3,0),所以可求出對稱軸即頂點的橫坐標,又函數(shù)的最大值是4,所以可求出頂點的縱坐標是:4;
(2)設出函數(shù)的頂點式表達式為y=a(x-h)2+k,由(1)知h,k,再把A或E點的再把代入可求出a,所以函數(shù)的解析式明確了,B點的坐標即函數(shù)x=0時的函數(shù)值.
(3)把四邊形AEDB的面積分割為S△AOB+S△DHE+S梯形BOHD可得問題答案.
(4)若拋物線y=mx2+nx+p和已知拋物線關于x軸對稱,則橫坐標不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù).
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)∵拋物線與x軸交于點A(-1,0),E(3,0),
∴拋物線的對稱軸是x=
3-1
2
=1,
∴頂點的橫坐標是:1,
∵函數(shù)的最大值是4.
∴頂點的縱坐標是:4,
拋物線的頂點坐標是(1,4).

(2)設拋物線的解析式為y=a(x-h)2+k,
∵拋物線頂點坐標為(1,4),
∴y=a(x-1)2+4,
又∵拋物線過點A(-1,0),∴4a+4=0,解得a=-1.
∴y=-x2+2x+3(或y=-(x-1)2+4為所求).
當x=0時,y=3,∴B(0,3).

(3)過點D作DH⊥x軸于點H,
∵A(-1,0),B(0,3),∴OA=1,OB=3,
∴S△AOB=
1
2
×OA×OB=
3
2
;
又∵D(1,4),E(3,0),∴DH=4,EH=2
∴S△DHE=
1
2
×DH×HE=4;
又∵B(0,3),D(1,4),∴S梯形BOHD=
1
2
×(OB+DH)×OH=
7
2
;
∴S四邊形AEDB=S△AOB+S梯形BOHD+S△DHE=9.

(4)m=1.
點評:本題考查了求二次函數(shù)的解析式,頂點坐標,以及特殊的點圍成的圖象的面積,綜合性很強,難度不大.
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線與x軸交于點A(-2,0),B(4,0),與y軸交于點C(0,8).
(1)求拋物線的解析式及其頂點D的坐標;
(2)設直線CD交x軸于點E.在線段OB的垂直平分線上是否存在點P,使得點P到直線CD的距離等于點P到原點O的距離?如果存在,求出點P的坐標;如果不存在,請說明理由;
(3)點M是直線CD上的一動點,BM交拋物線于N,是否存在點N是線段BM的中點,如果存在,求出點N的坐標;如果不存在,請說明理由.

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精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線與x軸交于點A(-1,0),與y軸交于點C(0,3),且對稱軸方程為x=1
(1)求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標;
(2)求拋物線的解析式;
(3)設拋物線的頂點為D,在其對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(4)若點M是拋物線上一點,以B、C、D、M為頂點的四邊形是直角梯形,試求出點M的坐標.

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(2012•株洲)如圖,已知拋物線與x軸的一個交點A(1,0),對稱軸是x=-1,則該拋物線與x軸的另一交點坐標是( 。

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如圖,已知拋物線與x軸交于點A(-2,0),B(4,0),與y軸交于點C(0,8).
(1)求拋物線的解析式及其頂點D的坐標;
(2)設直線CD交x軸于點E,過點B作x軸的垂線,交直線CD于點F,在坐標平面內(nèi)找一點G,使以點G、F、C為頂點的三角形與△COE相似,請直接寫出符合要求的,并在第一象限的點G的坐標;
(3)將拋物線沿其對稱軸平移,使拋物線與線段EF總有公共點.試探究:拋物線向上最多可平移多少個單位長度?

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