Question

【題目】如圖，矩形中，，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到矩形，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，交于點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使．

（1）證：．

（2）的度數(shù)．

（3）知，求的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）在直角三角形ABC中，由AC=2AB，得到∠ACB=30°，再由折疊的性質(zhì)得到一對(duì)角相等，利用等角對(duì)等邊即可得證；
（2）由（1）得到△ABB′為等邊三角形，利用矩形的性質(zhì)及等邊三角形的內(nèi)角為60°，即可求出所求角度數(shù)；
（3）連接AF，過A作AM⊥BF，可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B為等邊三角形，分別利用三角函數(shù)定義求出MF與AM，根據(jù)AM=BM，即BM+MF=BF即可求出．

(1)證明：∵在中，，

∴，，

由旋轉(zhuǎn)可得：，，

∴，

∴；

（2）解：由（1）得到△ABB′為等邊三角形，
∴∠AB′B=60°，即∠BB'F=∠AB'B+∠AB'F=150°，
∵BB'=B'F，
∴∠FBB′=∠B'FB=15°；

（3）連接，過作，由（2）可得是等腰直角三角形，為等邊三角形，

∴，

∴，，

在中，，

在中，，

則．